Мне интересно узнать, как использовать геометрию и топологию в физике. Может ли кто-нибудь порекомендовать книгу, которая охватывает эти темы, желательно с некоторыми доказательствами, физическими приложениями и упором на геометрическую интуицию? Я прошел вводный курс по реальному анализу, но не по другой высшей математике.
Первое, что нужно сказать, это то, что вопрос на самом деле недостаточно конкретен: Приложения к чему именно вы ищете? Для меня книга об алгебраической геометрии и зеркальной симметрии, а также о том, как она связана с зеркальной симметрией, как ее знают физики, очень актуальна и интересна. Однако у меня такое чувство, что это не совсем то, что вы ищете.
Поэтому я в основном буду придерживаться «базовых вещей», которые кажутся актуальными для всех, кто действительно интересуется, например, физикой высоких энергий (очевидно, с теоретической точки зрения), не предполагая, что читатель действительно интересуется продвинутыми вещами. Тем не менее, я включу раздел «специализированных» книг, куда включены некоторые более эзотерические и/или сложные темы, а также книги, которые полностью сосредоточены на одной конкретной области физики (например, общей теории относительности), а не на развитии общей теории. математические инструменты.
Наконец, обратите внимание, что я опускаю стандартные вводные тексты как для топологии, так и для геометрии, если я чувствую, что текст на самом деле не нацелен конкретно на физические приложения, поскольку их так много, что даже с учетом этого строгого критерия остается достаточно. Начнем (в алфавитном порядке):
Baez & Muniain - Калибровочные теории, узлы и гравитация
Интересная книга, которая развивает математику наряду с соответствующими физическими теориями: первая глава посвящена E&M и соответствующим математическим понятиям, таким как формы, вторая глава посвящена калибровочной теории как с физической, так и с математической точек зрения, а последняя глава посвящена общая теория относительности и лоренцева геометрия.
Бликер - Калибровочная теория и вариационные принципы
Начинается с очень краткого рассмотрения тензорного исчисления, расслоений и т. д., быстро переходя к физическим темам, таким как поля Дирака, унификация (калибровочных полей) и спонтанное нарушение симметрии.
Бредон - Топология и геометрия
Увидев добавленное сообщение QuanticMan с просьбой ответить, чтобы не уклоняться от намерений OP и рекомендовать книги с геометрической интуицией, эта книга сразу же пришла на ум. В предисловии Бредон утверждает:
Хотя большая часть этой книги посвящена алгебраической топологии, я попутно пытаюсь дать читателю возможность заглянуть в прекрасную и важную область гладких многообразий и внушить принцип, что алгебраические инструменты в первую очередь предназначены для понимания геометрический мир.
Это, кажется, идеально соответствует всем требованиям, и я могу лично рекомендовать его. Обратите внимание, однако, что это книга исключительно о математике: никаких приложений к физике не представлено, хотя инструменты, конечно, применимы и к физике.
Берк - Прикладная дифференциальная геометрия
Начинается примерно с 200 страниц математических инструментов (от тензоров до форм), а затем углубляется в приложения: от уравнения теплопроводности до калибровочных полей и гравитации.
Кэхилл - Физическая математика
Это действительно базовая книга, которая делает гораздо больше, чем просто топологию и геометрию: она начинается с линейной алгебры, уделяет много времени дифференциальным уравнениям и в конце концов доходит, например, до дифференциальных форм.
Fecko - Дифференциальная геометрия и группы Ли для физиков
Развивает базовую теорию многообразий (основное внимание уделяется не топологии) и, в конце концов, рассматривает ряд тем, включая классическую механику (симплектическая геометрия), калибровочную теорию и спиноры. Существует также (гораздо более короткий) набор конспектов лекций Феко на ту же тему.
Франкель - Геометрия физики: введение
Это большая книга, которая охватывает множество математических групп, но не фокусируется на физических приложениях. Темы включают дифференциальные формы, риманову геометрию, расслоения, спиноры, калибровочную теорию и гомотопические группы.
Гилмор - Группы Ли, физика и геометрия
Эта книга с подзаголовком «Введение для физиков, инженеров и химиков» может стать хорошей отправной точкой для тех, кто на самом деле интересуется только более простыми, приземленными темами. Включает главу о «водородных атомах», что звучит интересно.
Гамильтон - Математическая калибровочная теория: с приложениями к стандартной модели физики элементарных частиц
Я лично присутствовал на лекциях профессора Гамильтона, соответствующих приблизительно первым 450 страницам этой книги, и могу поручиться за то, что все в этой книге изложено с большой тщательностью. Это может быть немного сложно для тех, кто действительно хочет сосредоточиться только на физических приложениях, но многие технические детали справочного материала, которые часто опускаются в других текстах, представлены здесь полностью. Вторая часть посвящена физическим приложениям, в основном к классическим калибровочным теориям. Текст предполагает некоторое базовое знакомство с многообразиями, но не более того.
Ишам - Современная дифференциальная геометрия для физиков
«Стандартная вводная книга» по дифференциальной геометрии, переведенная на язык физиков. Ишам тщательно указывает, где математические понятия, которые он вводит, используются в физике, что приятно для тех, кто предпочитает не терять из виду физическую значимость всего этого. Охватывает все основы вплоть до пучков волокон примерно на 300 страницах.
Йост - Геометрия и физика
Быстро переходит к более сложным темам, включая пространства модулей, спиноры и супермногообразия (все в пределах первых 100 страниц) в первой части, посвященной математике. Вторая часть посвящена физике и включает, например, сигма-модели и конформную теорию поля.
Мищенко и Фоменко - Курс дифференциальной геометрии и топологии
Хотя это в значительной степени книга «общего введения», которую я обещал не включать, я решил нарушить это правило. Эта книга русская, и стиль русских учебников, на мой взгляд, очень физический и интересный для студентов-физиков. Кроме того, книга не фокусируется ни на дифференциальной геометрии, ни на топологии, но охватывает и то, и другое (кратко), что также полезно для студентов-физиков.
Набер - Топология, геометрия и калибровочные поля (два тома)
В первом томе есть симпатичная мотивационная глава, в которой вводятся продвинутые понятия (к сожалению, именно они обычно оказываются уместными в физике) и сначала обсуждаются гомологии и гомотопии (в обратном порядке?!), прежде чем перейти к многообразиям и расслоениям. (тоже в обратном порядке?!), заканчивая (физической) калибровочной теорией. Второй том охватывает более сложные темы, такие как классы Черна.
Накахара - Геометрия, топология и физика
Настоящая книга по математическим предпосылкам, например, калибровочной теории, теории струн и т. д., если вы спросите 90% физиков. Я лично думаю, что это ужасно, потому что ничего не объясняет должным образом, но я думаю, полезно учить модные словечки.
Нэш и Сен - Геометрия и топология для физиков
Эта книга не очень физическая, но кажется очень хорошей, если вы действительно пытаетесь получить хорошее представление о математике. Требуется время, чтобы (надеюсь, правильно) развить всю теорию по порядку: вводятся фундаментальная группа, гомологии, когомологии и высшие гомотопические группы, прежде чем расслоения, а затем теория Морса и (топологические) дефекты (!!) . Последняя глава посвящена теориям Янга-Миллса, в которой обсуждаются инстантоны и монополи.
Фон Вестенгольц - Дифференциальные формы в математической физике
После примерно 400 страниц подготовительной математики (включая, помимо стандартных тем, теорию Фробениуса и слоения, что приятно!), книга рассматривает классическую механику и релятивистскую физику (включая гидромеханику), каждая примерно на 50 страницах.
Booss & Bleecker - Топология и анализ: формула индекса Атьи-Зингера и калибровочно-теоретическая физика
Расширенная тема --- очень аналитическая, с большим количеством информации об эллиптических дифференциальных операторах.
Картан - Теория спиноров
Не мог удержаться, чтобы не вставить это: оригинальная классика спиноров, написанная самим первооткрывателем. Немного устарел (например, в нотации) и поэтому, вероятно, не очень полезен для современных студентов.
Делинь и др. - Квантовое поле и струны: курс для математиков (два тома)
Два тома занимают около 1500 страниц и содержат работы известных математиков и физиков (Делиня, Виттена...). Охватывает множество сложных тем физики с математической точки зрения и включает упражнения.
Дунайский - Солитоны, инстантоны и твисторы
Поскольку в ОП упоминаются солитоны, я подумал, что это может быть интересно упомянуть: предполагается, что базовая топология и геометрия известны, и рассматривается множество физически интересных тем (таких как монополи, перегибы, спиноры на многообразиях и т. д.)
Леви-Чивита - Абсолютное дифференциальное исчисление
Еще одна классика и одна из первых книг по тензорному анализу.
Нэш - Дифференциальная топология и квантовая теория поля
Эта книга кажется увлекательной для тех, кто действительно пытается проникнуть в более сложные части калибровочной теории. Рассматриваемые темы включают топологические теории поля (инварианты узлов, гомологии Флоера и т. д.), аномалии и конформную теорию поля.
О’Нил — полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности
Известный учебник по математическим основам общей теории относительности.
Сакс и Ву - Общая теория относительности для математиков
Как и предыдущая книга
Ward & Wells - Твисторная геометрия и теория поля
Эта книга полностью посвящена теории твисторов: последняя часть посвящена приложениям к калибровочной теории.
Если вы хотите изучать топологию оптом, я бы порекомендовал книгу Манкреса «Топология», которая содержит довольно много вводного материала.
Однако с точки зрения того, что может быть полезно для физики, я бы рекомендовал:
Лично я мало читал о Накахаре, но слышал о нем хорошие отзывы, хотя он может предполагать слишком много концепций. Я читал отрывки из Набера, и они кажутся довольно хорошо написанными и понятными и начинаются с первых принципов, но опять же, они могут не так сильно фокусироваться на основах, если это то, что вы ищете.
Новый, краткий и очень полный текст с приложениями ко многим областям физики см. в книге «Дифференциальная топология и геометрия с приложениями к физике» Нахмада-Ачара (издательство IOP). Эта книга представляет в сжатой и прямой форме соответствующий математический формализм и основы дифференциальной топологии и дифференциальной геометрии вместе с важными приложениями во многих разделах физики.
Не торопитесь, ramanujan, сначала изучите основные математические методы (например, из «Математической физики» Садри-Хассани). Тогда стандартным справочником для изучения математики на уровне выпускников будет «Геометрия, топология и физика» Накахара. Если вы думаете, что это слишком много, вы правы; это очень серьезная продвинутая тема. Но если вы хотите быстро выделить некоторые основные идеи, ознакомьтесь с 10-й главой «Квантовой теории поля» Райдера . Расширенное и физически ориентированное обсуждение можно найти в «Аспектах симметрии» Коулмана.
пользователь4552