Это скалярное значение, которое является проекцией состояния$H|\psi \rangle$о состоянии$|\phi \rangle$. Штат$H|\psi \rangle$результат действия оператора$H$о состоянии$|\psi \rangle$. Если государство$|\psi \rangle$является собственным состоянием оператора$H$, выражение можно переписать в виде$E \langle\phi|\psi \rangle$. Если государство$|\phi \rangle$также является собственным состоянием оператора$H$, у нас есть$E \delta_{\phi,\psi}$, что означает, что мы получаем ноль, если состояния ортогональны, и среднее значение энергии, если они сопряжены.

Если оба состояния не являются собственными состояниями, мы можем уточнить это, используя разрешение тождества в терминах собственных состояний Гамильтона:$1=\sum_i |i \rangle \langle i|$. Путем умножения тождества с обеих сторон гамильтониана полученное выражение выглядит следующим образом:

$$\sum_{ij} \langle\phi|i \rangle \langle i|H |j \rangle \langle j|\psi \rangle=\sum_{ij} E_j \delta_{i,j} \langle\phi|i \rangle \langle j|\psi \rangle=\sum_{j} E_j \langle\phi|j \rangle \langle j|\psi \rangle$$

Таким образом, мы имеем сумму произведений проекций двух состояний на все собственные состояния гамильтониана, умноженных на соответствующую энергию.

Это дополнение к правильному ответу Фрейда :

---

Гамильтониан - это бесконечно малый генератор перевода времени , определяемый как

$$\mathrm{\hat{U}}(\mathrm dt)= 1- \frac{i}{\hbar} \mathrm{\hat{H}}(t)~\mathrm dt\;.$$

Оператор эволюции времени:

Пусть система находится в$|\phi\rangle\;.$Теперь подождем некоторое время .....

Какова амплитуда вероятности нахождения нашей системы в$|\chi\rangle\;?$

Это не должно быть$\langle\chi|\phi\rangle$как теперь мы выжидали определенный промежуток времени; эту задержку необходимо учитывать.

Оператор эволюции времени$\mathrm{\hat{U}}$потом приходит на помощь.

Предположим, система подготовлена ​​на$|\phi\rangle$в$t_1$. Какова амплитуда вероятности нахождения нашей системы в состоянии$|\chi\rangle$вовремя$t_2\;?$

Требуемая амплитуда записывается как

$$\left\langle\chi\left|\mathrm{\hat{U}}(t_2,t_1)\right|\phi\right\rangle$$

Или, если расширить базовые состояния, это можно записать как

$$\sum_{jk}\langle\chi |j\rangle\left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t_2,t_1)\right|k\right\rangle\langle k|\phi\rangle\;.$$

The $\mathrm{\hat U}$матрица:

Амплитуда вероятности нахождения нашей системы в другом состоянии через некоторое время после ее подготовки в другом состоянии может быть записана как

$$|\psi(t+\Delta t)\rangle = \mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)|\psi(t)\rangle$$

Умножая обе части на$\langle j|$, базовое состояние, получаем

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle = \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|\psi(t)\right\rangle$$

Решение нашего вектора состояния$|\psi(t+\Delta t)$к нашим заинтересованным базовым состояниям, мы получаем

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle =\sum_{k} \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|k\right\rangle\langle k|\psi(t)\rangle\;.$$

$$\mathrm{U}_{jk}\equiv \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|k\right\rangle$$ составляет один из элементов$\rm{\hat{U}}$матрица .

Тогда мы можем преобразовать амплитуду вероятности как:

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle =\sum_{k} \mathrm{U}_{jk} C_k(t)$$

где$C_{k}(t)$представляет собой амплитуду вероятности нахождения нашей системы в базовом состоянии$|k\rangle$вовремя$t\;.$

Что это означает?

Это означает, что амплитуда нахождения системы в некотором базовом состоянии при$t+\Delta t$пропорциональна всем остальным амплитудам$C_k$вовремя$t\;.$

Гамильтониан:

Мы можем записать амплитуду вероятности как:

$$C_j(t+\Delta t) =\sum_{j} \mathrm{U}_{jk} C_k(t)\;.$$

Как$\Delta t\to 0\,,$

$$\mathrm{ U}_{jk}\to \delta_{jk} \;.$$

Итак, мы можем написать

$$\mathrm{U}_{jk}(t+\Delta t,t)= \delta_{jk}+ \left(\frac{-i}{\hbar}\right)\mathrm{H}_{jk}\,\Delta t$$ где$\mathrm{H}_{jk}$определяется как

$$\mathrm{ H}_{jk}= \lim_{\Delta t\to 0}\,\frac{\mathrm{U}(t+\Delta t)_{jk}- \mathrm{U}(t)_{jk}}{\Delta t}\;.$$

Используя это, мы перепишем нашу амплитуду как:

$$C_j(t+\Delta t)= \sum_{k}\left[\delta_{jk}- \left(\frac{i}{\hbar}\right)\,\mathrm{H}_{jk}(t)~\mathrm dt\right]\, C_k(t)$$

Элементы$\mathrm{H}_{jk}$составляют матрицу Гамильтона.$\mathrm H$s определять изменение во времени состояния системы; они включают « физику ситуации », которая вызывает изменение коэффициентов во времени.

Физическая ситуация может соответствовать электрическому полю, переменному магнитному полю — чему угодно .$\rm H$s выяснить, что произойдет со временем.

тл;др:

Чтобы перевести состояние через временной интервал или узнать о развитии системы во времени, мы используем оператор эволюции во времени как

$$\mathrm{\hat U}(t_2,t_1)|\psi(t_1)\rangle= \exp\left[\frac{-i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2}\,\mathrm{\hat H}(t')\,\mathrm dt'\right] |\psi(t_1)\rangle\;.$$

Здесь,$\rm{\hat H}$ генерирует бесконечно малый временной перевод.

---

Но как мне интерпретировать$\langle \phi | H | \psi \rangle$?

Он представляет собой амплитуду вероятности перехода в единицу времени нахождения нашей системы в$\phi$при условии, что система была подготовлена ​​в$\psi\;.$

---

Использованная литература:

$\bullet$ Лекции по физике Фейнмана , Лейтона, Сэндса.

$\bullet$ Современный подход к квантовой механике Джона С. Таунсенда .