Антиунитарный оператор и гамильтониан

Унитарный оператор — это линейный сюръективный оператор$U : {\cal H} \to {\cal H}$который сохраняет норму. Это эквивалентно$U^*=U^{-1}$, а именно$UU^*=U^*U=I$, где$U^*$в дальнейшем обозначает сопряжение$U$.

Антиунитарный оператор — это антилинейный сюръективный оператор .$U : H \to H$который сохраняет норму. Это эквивалентно$U$биективный такой, что

$$\langle U\psi|\phi\rangle = \overline{\langle \psi| U\phi\rangle}\:,\quad \forall \psi, \phi \in {\cal H}\:.$$ Теперь предположим, что в обоих случаях для всех$t\in \mathbb{R}$ $$U e^{-itH} = e^{-itH}U\:.$$ Применяя$U^{-1}$справа получаем эквивалентное условие $$Ue^{-itH} U^{-1}= e^{-itH}\:.\tag{1}$$ Из спектрального исчисления или других более элементарных процедур, например, разложения экспоненты в ряд, если$H$ограничено и обращая внимание на$U i H = -iUH$ввиду антилинейности$U$если это так, (1) влечет за собой $$e^{\mp itUHU^{-1}} = e^{-itH}\:.$$ Вычисление производной в$t=0$(теорема Стоуна) обеих сторон (на соответствующей плотной области$H$который оказывается инвариантным относительно$U^{-1}$, непосредственно образуют часть уникальности теоремы Стоуна): $$\pm UHU^{-1} = H\:,$$ то есть $$UHU^{-1} = \pm H\:,\tag{2}$$ где знак$-$относится к антиунитарному случаю. В случае унитарного опаратора мы также нашли, что $$UHU^{*} = H$$ потому что$U^*=U^{-1}$. В случае антиунитарного$U$, с подходящим определением ($\dagger$) сопряженного оператора для антилинейных операторов, мы можем эквивалентно переписать (2) в виде $$UHU^{*} = -H\:.$$

Однако определение сопряженного антиунитарного оператора обычно деликатно и, по моему личному опыту, является источником ошибок. Имея дело с симметриями, гораздо лучше использовать$U^{-1}$в обоих случаях вместо$U^*$.

---

$(\dagger)$ $\langle \psi|A \phi\rangle = \overline{\langle A^*\psi| \phi\rangle}$для всех$\psi,\phi\in {\cal H}$предполагая$A$всюду определенная и антилинейная.

В посте есть пара непонятных (или даже неправильных?) моментов. Во-первых, я предполагаю$U^*$означает$U^\dagger$, прилегающая к$U$. Унитарная симметрия означает$UHU^\dagger=H$.

Антиунитарный оператор — это прежде всего антилинейный оператор, а не линейный. Если$U$является антиунитарной симметрией, то все еще имеет место$UHU^\dagger=H$, не должно быть лишнего знака минус. Однако определение сопряженного для антилинейного оператора отличается от определения для линейного оператора.

Изменить: другой ответ правильный. Обычно для симметрии обращения времени (что является наиболее распространенным способом получения антиунитарной симметрии) мы также принимаем$t$к$-t$так$UHU^\dagger=H$. Но если$U$просто антиунитарный без$t$собираюсь$-t$, то потому что$Ui=-iU$у нас есть лишний минус.