Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Question

Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Солнечная вспышка0

Позволять $H_1$ и $H_2$ — гамильтонианы на гильбертовых пространствах $\mathcal{H}_1$ и $\mathcal{H}_2$ . Мой вопрос в целом касается того, как можно сформировать гамильтониан на тензорном произведении гильбертова пространства

ЧАС "=" {ЧАС}_{1} \otimes {ЧАС}_{2} .

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2.$ Самый очевидный способ для меня — взять тензорное произведение гамильтонианов:

{ЧАС}_{т} "=" {ЧАС}_{1} \otimes {ЧАС}_{2} .

$H_t = H_1 \otimes H_2.$ Однако я обнаружил, что в большинстве физических приложений, например, при изучении открытых квантовых систем или физики многих тел, обычно люди принимают сумму Кронекера как гамильтониан в пространстве тензорного произведения:

{ЧАС}_{к} "=" {ЧАС}_{1} \otimes я_{2} + я_{1} \otimes {ЧАС}_{2},

$H_k = H_1\otimes I_2 + I_1\otimes H_2,$ где

I_{1, 2}

$I_{1,2}$ тождественные операторы на

H_{1, 2}

$\mathcal{H}_{1,2}$ .

Я знаю о математических различиях между этими двумя конструкциями, но мой вопрос: может ли кто-нибудь дать физическую интуицию о том, как различаются эти гамильтонианы, и при каких обстоятельствах я бы использовал один вместо другого?

маршировать

Эти два представляют разные вещи. Первый представляет собой член взаимодействия между двумя квантовыми системами, а второй представляет собой свободные гамильтонианы каждой системы в отдельности. (Так, например, вторая может быть кинетической и потенциальной энергиями двух отдельных осцилляторов, а затем первая может представлять собой гамильтониан взаимодействия, если, например, два осциллятора соединены пружиной).

Солнечная вспышка0

Это часть того, что меня смущает. Если я исправлю незапутанное состояние

| Ψ ⟩ = | ψ_{1} ⟩ | ψ_{2} ⟩

$|\Psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$ , затем

H_{t} | Ψ ⟩

$H_t|\Psi\rangle$ не запутан, но

H_{k} | Ψ ⟩

$H_k|\Psi\rangle$ может запутаться. Так

H_{t}

$H_t$ описывает взаимодействующую систему, но эволюция посредством

H_{t}

$H_t$ не может вызвать запутывания и

H_{k}

$H_k$ описывает невзаимодействующую систему, но эволюция путем

H_{k}

$H_k$ может вызвать запутывание. Судя по этому аргументу,

H_{t}

$H_t$ должен описывать невзаимодействующую систему и

H_{k}

$H_k$ должно описывать взаимодействующую систему?

маршировать

Я понимаю! Я думаю, что могу решить это для вас простым способом. Дайте мне пару минут, и я напишу ответ.

Солнечная вспышка0

@J.Murray J.Murray Ах, да, я сделал ошибку. Я отредактировал это. Благодарю за разъяснение.

Ответы (1)

Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Эти два представляют разные вещи. Первый представляет собой член взаимодействия между двумя квантовыми системами, а второй представляет собой свободные гамильтонианы каждой системы в отдельности. (Так, например, вторая может быть кинетической и потенциальной энергиями двух отдельных осцилляторов, а затем первая может представлять собой гамильтониан взаимодействия, если, например, два осциллятора соединены пружиной).
Это часть того, что меня смущает. Если я исправлю незапутанное состояние $|\Psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$ , затем $H_t|\Psi\rangle$ не запутан, но $H_k|\Psi\rangle$ может запутаться. Так $H_t$ описывает взаимодействующую систему, но эволюция посредством $H_t$ не может вызвать запутывания и $H_k$ описывает невзаимодействующую систему, но эволюция путем $H_k$ может вызвать запутывание. Судя по этому аргументу, $H_t$ должен описывать невзаимодействующую систему и $H_k$ должно описывать взаимодействующую систему?
Я понимаю! Я думаю, что могу решить это для вас простым способом. Дайте мне пару минут, и я напишу ответ.
@J.Murray J.Murray Ах, да, я сделал ошибку. Я отредактировал это. Благодарю за разъяснение.

маршировать · Answer 1

Две разные формы гамильтониана представляют разные физические вещи. Первый, данный

\begin{matrix} (1) & {\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{я}}_{2} + {\hat{я}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\tag{1},$ представляет свободные гамильтонианы каждой системы в отдельности, а второй, заданный формулой

\begin{matrix} (2) & {\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\tag{2},$ представляет собой член взаимодействия между двумя квантовыми системами. (Так, например, первая может быть кинетической и потенциальной энергиями двух отдельных осцилляторов, а затем вторая может представлять собой гамильтониан взаимодействия, если, например, два осциллятора соединены пружиной).

Важно отметить, что гамильтонианы вида (1) превращают незапутанные состояния в незапутанные, а гамильтонианы вида (2) могут превращать незапутанные состояния в запутанные. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующие расчеты.

Рассмотрим две квантовые системы, описываемые гамильтонианами $H_1$ и $H_2$ , собственные системы которого отдельно описываются

{\hat{ЧАС}}_{1} | ψ_{н} ⟩ "=" ϵ_{н} | ψ_{н} ⟩, {\hat{ЧАС}}_{2} | ф_{н} ⟩ "=" {мю}_{н} | ф ⟩ .

$\hat{H}_1|\psi_n\rangle = \epsilon_n|\psi_n\rangle,~~~~~\hat{H}_2|\phi_n\rangle = \mu_n|\phi\rangle.$ Давайте сначала рассмотрим случай 1, в котором комбинированный гамильтониан комбинированной системы оказывается равным

\begin{matrix} (1) & {\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{я}}_{2} + {\hat{я}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\tag{1} \end{equation}$ Тогда собственные состояния этого оператора являются произведением собственных состояний отдельных гамильтонианов, а собственные значения представляют собой суммы отдельных собственных значений, которые мы можем показать, вычислив

({\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{я}}_{2} + {\hat{я}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2}) (| ψ_{н} ⟩ \otimes | ф_{м} ⟩) "=" (ϵ_{н} + {мю}_{м}) (| ψ_{н} ⟩ \otimes | ф_{м} ⟩) .

$\left(\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\right)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right) =(\epsilon_n+\mu_m)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ (Подробности касаются только использования линейности.) Теперь, учитывая произвольное незапутанное начальное состояние

| Ψ (0) ⟩

$|\Psi(0)\rangle$ , его можно записать как произведение векторов, разложенных по отдельным собственным основаниям энергии как

| Ψ (0) ⟩ "=" (\sum_{н} а_{н} | ψ_{н} ⟩) \otimes (\sum_{м} б_{н} | ф_{м} ⟩) "=" \sum_{н м} а_{н} б_{м} (| ψ_{н} ⟩ \otimes | ф_{м} ⟩) .

$|\Psi(0)\rangle = \left(\sum_{n}a_{n}|\psi_n\rangle\right)\otimes\left( \sum_{m}b_n|\phi_m\rangle\right) = \sum_{nm}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Затем мы можем получить полную зависимость от времени, присоединив экспоненциальные множители к собственным векторам обычным способом, что даст

| Ψ (т) ⟩ "=" \sum_{н м} е^{- я (ϵ_{н} + {мю}_{м}) т / ℏ} а_{н} б_{м} (| ψ_{н} ⟩ \otimes | ф_{м} ⟩) .

$|\Psi(t)\rangle = \sum_{nm}e^{-i(\epsilon_n+\mu_m)t/\hbar}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Важно отметить, что это состояние

| Ψ (т) ⟩ "=" (\sum_{н м} е^{- я ϵ_{н} т / ℏ} а_{н} | ψ_{н} ⟩) \otimes (\sum_{м} е^{- я {мю}_{м} т / ℏ} б_{м} | ф_{м} ⟩),

$|\Psi(t)\rangle=\left(\sum_{nm} e^{-i\epsilon_nt/\hbar} a_n|\psi_n\rangle\right)\otimes\left( \sum_{m} e^{-i\mu_mt/\hbar} b_m|\phi_m\rangle\right),$ и поэтому, если система начиналась незапутанной, она остается незапутанной. Это чистое следствие того факта, что гамильтониан представляет собой сумму гамильтонианов одной системы, потому что именно это приводит к тому, что собственные энергии являются суммами отдельных энергий, что позволяет нам разложить экспоненту на множители.

Теперь, чтобы увидеть, что это не работает в случае гамильтониана второй формы, заданного формулой

\begin{matrix} (2) & {\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\tag{2},$ сначала отметим, что произведение собственных векторов по-прежнему является собственным вектором, но собственные значения теперь являются произведениями отдельных собственных значений, т. е.

({\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2}) (| ψ_{н} ⟩ \otimes | ф_{м} ⟩) "=" (ϵ_{н} {мю}_{м}) (| ψ_{н} ⟩ \otimes | ф_{м} ⟩) .

$\left(\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\right)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right) =(\epsilon_n\mu_m)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Если мы снова начнем с первоначально незапутанного состояния, показанного выше, то полное зависящее от времени состояние будет дано выражением

| Ψ (т) ⟩ "=" \sum_{н м} е^{- я (ϵ_{н} {мю}_{м}) т / ℏ} а_{н} б_{м} (| ψ_{н} ⟩ \otimes | ф_{м} ⟩),

$|\Psi(t)\rangle = \sum_{nm}e^{-i(\epsilon_n\mu_m)t/\hbar}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right),$ что уже нельзя учитывать вообще!

Это также можно увидеть, непосредственно возведя гамильтонианы в степень, чтобы получить унитарные операторы эволюции во времени. Для гамильтонианов вида (1) оператор эволюции во времени имеет вид

U_{1} (т) "=" опыт (- \frac{я т}{ℏ} ({\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{я}}_{2} + {\hat{я}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2})) "=" опыт (- \frac{я т}{ℏ} {\hat{ЧАС}}_{1} \otimes {\hat{я}}_{2}) опыт (- \frac{я т}{ℏ} {\hat{я}}_{1} \otimes {\hat{ЧАС}}_{2}),

$U_1(t) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} (\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2) \right) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1\otimes\hat{I}_2 \right) \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{I}_1\otimes\hat{H}_2 \right),$ что разрешено, потому что два оператора коммутируют друг с другом. Более того, относительно просто показать, что это можно записать как

U_{1} (т) "=" (опыт (- \frac{я т}{ℏ} {\hat{ЧАС}}_{1}) \otimes {\hat{я}}_{2}) ({\hat{я}}_{1} \otimes опыт (- \frac{я т}{ℏ} {\hat{ЧАС}}_{2})) "=" опыт (- \frac{я т}{ℏ} {\hat{ЧАС}}_{1}) \otimes опыт (- \frac{я т}{ℏ} {\hat{ЧАС}}_{2}) .

$U_1(t) = \left( \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1 \right) \otimes\hat{I}_2\right) \left(\hat{I}_1\otimes \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_2 \right)\right) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1 \right) \otimes \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_2 \right).$ Таким образом, можно увидеть, что этот оператор эволюции во времени «сохраняет незапутанность». Другой не учитывается таким же образом.

Спасибо за отличный ответ! Таким образом, кажется, что унитарные системы показывают противоположное поведение по отношению к запутанности, чем гамильтонианы, поскольку для $|\Psi(0)\rangle$ незапутанный, мы имеем: $H_t|\Psi(0)\rangle$ пока не запутался $U_t|\Psi(0)\rangle$ запутан, тогда как $H_k|\Psi(0)\rangle$ запутался, пока $U_k|\Psi(0)\rangle$ не запутан. Но я полагаю, что имеет смысл смотреть на унитарии при изучении того, как гамильтониан запутывает состояния.
Мне кажется это правильным! Гамильтонианы сами по себе не могут запутывать состояния, потому что процесс запутывания явно требует некоторого физического процесса, который занимает некоторое время. Поэтому изучение унитаров эволюции во времени необходимо. В любом случае действие произвольного оператора на квантовое состояние не соответствует физическому процессу, если только оператор не является (унитарным) оператором эволюции во времени или оператор (который фактически обычно действует на матрицы плотности) не является членом POVM (в этом случае оператор соответствует процессу измерения).
Тензорное произведение представляет собой произведение собственных значений, тогда как тензорная сумма представляет собой сумму (примечание: операторная (матричная) сумма не дает суммы собственных значений). Означает ли это, что если сложить собственные значения кинетической и потенциальной энергий, получится: $(-\frac{\hbar^2\partial^2}{2m\partial x^2}+V(y))u(x,y)=Eu(x,y)$ для одной частицы?
@ Cretin2 Я не совсем понимаю твой вопрос.
Я концентрируюсь на разнице между суммой матриц соответственно. Сумма Кронекера: должны ли мы добавлять операторы соответственно. или мы добавляем их результаты измерений (собственные значения)?

Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Солнечная вспышка0

маршировать

Солнечная вспышка0

маршировать

Солнечная вспышка0

Ответы (1)

маршировать

Солнечная вспышка0

маршировать

Кретин2

маршировать

Кретин2

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Может ли оператор Гамильтона действовать на бюстгальтер, если он когда-то действовал на кет?

Антиунитарный оператор и гамильтониан

Объединение двух одномерных гамильтонианов: как правильно построить новый гамильтониан?

Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]

Гамильтонианы, операторы рождения/уничтожения, рекурсия

Как показать, что собственные состояния гамильтониана можно сделать ортонормированными?

Что такое ⟨ϕ|H|ψ⟩⟨ϕ|H|ψ⟩\langle \phi | Н | \psi\rangle в QM?

Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Как гамильтониан является эрмитовым оператором?