Что такое импульс, канонически сопряженный спину в КМ?

Question

Что такое импульс, канонически сопряженный спину в КМ?

Физика
Изинг-модель
спин-модели
квантовый спин
каноническое сопряжение

Дерпи

В Kopec и Usadel's Phys. Преподобный Летт. 78.1988 гамильтониан спинового стекла вводится в виде:

$ЧАС знак равно \frac{Δ}{2} \sum_{я} Π_{я}^{2} - \sum_{я < Дж} {Дж}_{я Дж} о_{я} о_{Дж},$ $H = \frac{\Delta}{2}\sum_i \Pi^2_i - \sum_{i<j}J_{ij}\sigma_i \sigma_j,$ где переменные $\sigma_i (i = 1, \ldots, N)$ связаны со спиновыми степенями свободы [...] и канонически сопряжены с операторами «импульса» $\Pi_i$ такой, что $[\sigma_i, \Pi_j] = i \delta_{ij}$ .

Теперь я привык записывать «кинетический» член в гамильтониане, подобном изинговскому поперечному полю, как $\propto \sum_i \sigma^x_i$ (работает на стандартной базе $\{\sigma^z_i\}$ ), так что этот отрывок вызывает у меня некоторые вопросы.

Что это $\Pi_i$ операторы? Если $\Pi_i^2 = \sigma^x_i$ , как я изначально полагал, то они не могут быть наблюдаемыми, ибо квадрат самосопряженного оператора положительно полуопределен (что $\sigma^x_i$ не является). В самом деле, если ограничиться $i$ -й спин и берет $i = j$ , можно легко доказать, что

[о^{г}, Π] знак равно о^{г} Π - Π^{†} о^{г} знак равно я 1

$[\sigma^z, \Pi] = \sigma^z \Pi - \Pi^\dagger \sigma^z = i \mathbb 1$ удовлетворяется за

Π знак равно (\begin{matrix} я / 2 & б \\ - \bar{б} & - я / 2 \end{matrix})

$\Pi = \begin{pmatrix}i/2&b\\-\bar{b}&-i/2\end{pmatrix}$ с

b \in C

$b \in \mathbb C$ . Это кратно единичной матрице, что кажется странным выбором для кинетического члена. Я чувствую, что мне здесь чего-то не хватает.

Вообще говоря, можно ли вообще определить импульс, «канонически сопряженный» с $\sigma^z$ , или любой другой спин-оператор, если уж на то пошло? Насколько я понимаю, в классической механике переменными, сопряженными с физическими вращениями, являются углы, но это не может быть перенесено в КМ каким-либо очевидным образом.

Анна В

взгляните на JxJy .... соотношения неопределенностей en.wikipedia.org/wiki/… .

Qмеханик

Небольшой комментарий к сообщению (v1): В будущем просьба ссылаться на страницы тезисов, а не на pdf-файлы.

Дерпи

@Qmechanic Должным образом отмечено. Спасибо, что указали на это.

Ответы (2)

Что такое импульс, канонически сопряженный спину в КМ?

взгляните на JxJy .... соотношения неопределенностей en.wikipedia.org/wiki/… .
Небольшой комментарий к сообщению (v1): В будущем просьба ссылаться на страницы тезисов, а не на pdf-файлы.
@Qmechanic Должным образом отмечено. Спасибо, что указали на это.

Космас Захос · Answer 1

Несмотря на то, что явный коммутатор, который вы написали, неверен - вы не должны были спрягать $\Pi$ во втором члене - ваш вывод верен, что вы не можете удовлетворить коммутационному соотношению Борна-Гейзенберга с матрицами 2x2.

На самом деле существует общая Теорема : Алгебра Гейзенберга не допускает точных конечномерных (матричных) представлений . Итак, какими бы еще они ни были, ваши переменные $\sigma, \Pi$ не являются ограниченными операторами --- и поэтому не могут быть матрицами 2x2, которые вы рассматриваете.

Это наблюдение было впервые сделано П. Джорданом, Zeits. ф. физ. 44 1 (1927).

Женянь Ши · Answer 2

Во-первых, есть очень элементарная причина, по которой $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ невозможно для конечномерных матриц. Потому что это тождество привело бы к следующему противоречию:

Тр [А, Б] знак равно 0 \neq Тр (я \cdot 1) знак равно я \cdot н

$\text{Tr}[A,B] = 0 \neq \text{Tr} (i \cdot \mathbb{1}) = i \cdot n$ Где

A, B

$A,B$ находятся

n \times n

$n \times n$ матрицы.

Однако, если мы внимательно прочитаем статью Копека и Усаделя , мы заметим ключевую фразу, которая не упоминается в вопросе:

Чтобы уловить основную физику проблемы, мы рассмотрим квантованную сферическую модель на решетке Бете, заданную гамильтонианом:
$ЧАС знак равно \frac{Δ}{2} \sum_{я} Π_{я}^{2} - \sum_{я, Дж} {Дж}_{я Дж} о_{я} о_{Дж}$ $H = \frac{\Delta}{2} \sum_i \Pi_i^2 - \sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j$

Выделенное слово «сферическая модель» означает, что у нас есть сферическое ограничение $\sum_i \sigma_i^2 = 1$ вместо ограничения Изинга $\sigma_i^2 = 1$ для всех $i$ . Итак $\sigma_i$ в этой модели на самом деле является оператором положения с ограничениями, действующим в бесконечномерном гильбертовом пространстве, и коммутационным соотношением типа $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ становится мыслимым.

Однако у меня есть одно затяжное замешательство. При рассмотрении сферических ограничений я привык квантовать скобки Дирака вместо скобок Пуассона (скобка Дирака — это модификация скобок Пуассона, обсуждаемая, например, в КТП Вайнберга, раздел 7.6). Используя скобки Дирака:

[Π_{я}, о_{Дж}] \neq я 1

$[\Pi_i, \sigma_j] \neq i \mathbb{1}$ Поэтому я не совсем понимаю, почему автор использовал стандартное каноническое коммутационное соотношение для квантования системы. Я надеюсь, что кто-то еще прояснит этот момент.

Вы недостаточно цитировали из газеты. Уже следующее предложение проясняет вашу точку зрения: «расположено на решетке Бете с координацией z». Таким образом, сферическое ограничение не накладывается; $\sigma_j$ просто беги по решетке. Вместо этого несколькими строками позже сказано, что воспроизводится только среднее значение сферического отношения.
@ArnoldNeumaier Спасибо, что указали на это. Я ведь не заметил этого утверждения. Однако это утверждение делает статью более запутанной для меня. Если $\sigma_j$ являются дискретными переменными, то коммутационное соотношение невозможно. Теперь, если мы возьмем $\sigma_j$ должны быть непрерывными переменными, удовлетворяющими усредненному ограничению, то я не понимаю уравнение (2) в статье, в котором явно используется дельта-функция для наложения точного сферического ограничения! В любом случае я не понимаю, почему нам разрешено делать каноническое квантование вместо квантования Дирака.
Да, они не делают того, что говорят, и фактически применяют в интеграле по путям (2) не усредненное ограничение, а точное ограничение. Использование интегрального представления дельта-ограничения, введенного после (3), преобразует его (нестрого) в интеграл по путевому интегралу системы без ограничений. Это позволяет им вычислять интеграл по путям, используя стандартные правила коммутации.

Что такое импульс, канонически сопряженный спину в КМ?

Дерпи

Анна В

Qмеханик

Дерпи

Ответы (2)

Космас Захос

Женянь Ши

Арнольд Ноймайер

Женянь Ши

Арнольд Ноймайер

Некоторые предельные случаи модели Гейзенберга XXZ (2/2)

Есть ли версия Капли Принца Руперта в вращающемся стекле?

Некоторые предельные случаи модели Гейзенберга XXZ (1/2)

Модель Изинга Моделирование методом Монте-Карло в 4D и 5D

Жидкость Вейссенгофа и условие Френкеля

Простая модель, демонстрирующая эмерджентную симметрию?

Два электронных спина выстраиваются в противоположные направления, и модель Изинга

Как определить статистику и спин квазичастиц?

Становится ли q-состояние Поттса моделью XY в большом q-состоянии?

Какие новые черты есть у модели Гейзенберга по сравнению с моделью Изинга?