Становится ли q-состояние Поттса моделью XY в большом q-состоянии?

Я думаю, что вы действительно заинтересованы в$q$модель часов с состоянием, аналогичная модели Поттса и определяемая следующим образом. Исправить целое число$q\geq2$. Для каждого$i\in\mathbb{Z}^d$, позволять

$$\theta_i \in \bigl\{\frac{2\pi}{q} k\,:\, k\in\{0,1,\ldots,q-1\}\bigr\},$$ и определить вращение на сайте $i$к $$\mathbf{S}_i = (\cos\theta_i,\sin\theta_i) .$$ Гамильтониан определяется выражением $$H = -\beta \sum_{i\sim j} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j,$$ где сумма по ближайшим соседям и $\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}$обозначает скалярное произведение в $\mathbb R^2$.

Заметим, что эта модель совпадает с моделью Поттса только тогда, когда$q=2$или$q=3$. Для более высоких значений$q$, группа симметрии меньше. Однако это настоящая дискретизация модели XY, намного более близкая к тому, что вы имели в виду.

В очень точном смысле$q$Модель часов с состоянием ведет себя как модель XY, как только$q$достаточно большой; это явление усиления симметрии . В частности, при достаточно больших значениях$q$, эта модель имеет два измерения:

• уникальность при высокой температуре с экспоненциальным затуханием двухточечной функции
• безмассовая фаза при промежуточной температуре с алгебраическим распадом двухточечной функции
• упорядоченные фазы при низких температурах, без распада 2-точечной функции

Строгое доказательство см. в знаменитой статье Фрёлиха и Спенсера. Это должно фактически выполняться для любого$q\geq 5$, но доказано только для$q$достаточно большой.

В пределе$q\to\infty$, упорядоченная низкотемпературная фаза исчезает, и остается модель XY.