Простая модель, демонстрирующая эмерджентную симметрию?

В предыдущем вопросе «Эмерджентные симметрии» , который я задавал, профессор Любош Мотл сказал, что эмерджентные симметрии никогда не бывают точными . Но мне интересно, является ли следующий пример контрпримером с точной эмерджентной вращательной симметрией спина.

Достаточно рассмотреть простейшую модель Изинга для двух систем со спином 1/2. ЧАС "=" о 1 г о 2 г , имеет два основных состояния, одно из них спин-синглетное | ↑↓> − | ↓↑> который обладает спиновой вращательной симметрией, тогда как исходный гамильтониан явно нарушает ее.

И я хочу знать, знает ли кто-нибудь несколько простых примеров того, что все основные состояния обладают эмерджентной симметрией, а гамильтониан — нет?

Между прочим, я помню слова профессора Сяо-ганга Вэня, ключевое различие между « топологическим вырождением » и «обыкновенным вырождением» состоит в том, что топологическое вырождение обычно является приблизительным, тогда как обычное вырождение является точным. Если эмерджентные симметрии вообще приблизительны, то есть ли связь между топологическим вырождением и эмерджентными симметриями?

Комментарии : Два основных состояния приведенного выше примера Изинга являются вырожденными. Интересно, может ли возникнуть эмерджентная симметрия для невырожденного собственного состояния? Например, если собственное состояние гамильтониана невырождено, то это собственное состояние должно сохранять все симметрии гамильтониана, и есть ли возможность, что это собственное состояние обладает дополнительной симметрией, отсутствующей в гамильтониане? Кто-нибудь знает какой-нибудь пример такого рода?

Заранее спасибо.

Как насчет этого: ЧАС "=" С 1 г С 2 г + 1 4 ( С 1 г + С 2 г ) . Второй член нарушает вырождение возбужденных состояний в вашей модели. Оператор С 1 + С 2 + + С 1 − С 2 − не коммутирует с гамильтонианом, но два основных состояния являются его собственными состояниями. Моя логика состоит в том, чтобы построить оператор симметрии, коммутирующий с гамильтонианом только в подпространстве основных состояний.
Я думаю об одномерной антиферромагнитной цепочке Холдейна (с открытым граничным условием). Состояние Gound является 4-кратно вырожденным только в термодинамическом пределе. Это означает, что разница энергий между состоянием с полным спином 0 и состоянием с полным спином 1 становится равной нулю в термодинамическом пределе. Мне интересно, как получить это с точки зрения симметрии.
@Tengen: основные состояния в вашей модели такие же, как у меня, интересно, существуют ли простые модели, все основные состояния которых имеют эмерджентную симметрию.
Моя модель тому пример. Подпространство основных состояний натянуто на | ↑↓ ⟩ и | ↓↑ ⟩ . Все они имеют симметрию, как я определил выше. Но только одномерное подпространство, натянутое | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ имеет спин-вращательную симметрию.
@Tengen: О, теперь я понял, что ты имеешь в виду. Вы правы, два основных состояния определенно являются собственными состояниями оператора симметрии, который вы определили, но с собственными значениями, равными нулю , что означает, что основные состояния исчезнут, как только на них подействует оператор симметрии. Итак, в этом случае мы все еще можем сказать, что основные состояния симметричны относительно операции, которую вы определили?
@Tengen: Что еще более важно, я думаю, что определенный вами оператор «симметрии» на самом деле не представляет никакой симметрии, потому что его нельзя даже инвертировать, а это означает, что он не может быть унитарным или антиунитарным оператором. И его физический смысл не ясен.
@Tengen: Может быть, я неправильно понял ваше объяснение. Пусть A будет оператором, который вы определили, тогда exp(i A ) может быть оператором симметрии, вы это имели в виду? Если да, то каков его физический смысл?
Мы говорим, что подпространство обладает симметрией, если оно поддерживает представление группы симметрии. Мы говорим здесь только о генераторе преобразования симметрии, а не о самой группе. Нулевое собственное значение не является проблемой (вы можете добавить любое ненулевое число к оператору симметрии, если хотите). Подумайте о симметрии вращения спина: полный спин также может быть равен нулю.
Да, ты прав. Возможно, нет физического смысла. Я просто построил его, чтобы выполнить ваше требование.
@Tengen: Да, теперь я с тобой согласен, я неправильно понял. Итак, вы знаете физический смысл этого?
@Tengen: Хорошо, я вижу, вы действительно даете нам пример того, что я хочу, хотя его физический смысл временно неясен. Все же разрешите поблагодарить вас.
Вы можете легко построить их столько, сколько захотите. Как я уже говорил, все, что вам нужно, — это построить оператор симметрии, коммутирующий с гамильтонианом только в подпространстве основных состояний.
@Tengen: Да, верно
@Tengen: Что касается сети Haldane, о которой вы упомянули, я мало что знал об этом. Но я хочу знать, если вы берете периодические граничные условия, являются ли основные состояния точно вырожденными для конечных узлов решетки? Что вызывает вырождение основного состояния в цепочке Холдейна, топология или симметрия системы? Если это топология, защищены ли эти топологические основные состояния какими-то симметриями?
Основное состояние невырождено, если взять периодическое граничное условие. Это пример защищенного симметрией топологического состояния. Симметрия представляет собой спиновую вращательную симметрию SO(3) для интегрального спина.

Ответы (2)

Простейшей моделью является цепочка со спином 1/2 с взаимодействием Маджумдара–Гоша :

ЧАС "=" ∑ я п 3 / 2 ( я − 1 , я , я + 1 ) ,
где п 3 / 2 ( я , Дж , к ) — оператор проектирования, который проецирует состояние на подпространство с полным спином 3/2 на узлах я , Дж , к . Основные состояния представляют собой два димерных состояния (см. Рисунок в модели Маджумдара-Гоша из Википедии ):
| ψ 1 ⟩ "=" ∏ я | с я н г л е т ⟩ 2 я , 2 я + 1 ,
| ψ 2 ⟩ "=" ∏ я | с я н г л е т ⟩ 2 я − 1 , 2 я .

Если мы определим преобразование симметрии U ( я , Дж ) "=" опыт ⁡ ( я а я Дж п 0 ( я , Дж ) ) где п 0 ( я , Дж ) — оператор синглетного проектирования, то

U ( 2 я , 2 я + 1 ) | ψ 1 ⟩ "=" опыт ⁡ ( я а 2 я , 2 я + 1 ) | ψ 1 ⟩ ,
U ( 2 я − 1 , 2 я ) | ψ 2 ⟩ "=" опыт ⁡ ( я а 2 я − 1 , 2 я ) | ψ 2 ⟩ ,
для любого я . Другими словами, | ψ 1 ⟩ поддерживает одномерное представление группы U ( 2 я , 2 я + 1 ) (любой я ), который не является симметрией исходного гамильтониана. Аналогично для | ψ 2 ⟩ . Именно эти возникающие симметрии делают эту модель разрешимой.

Более сложные примеры можно найти здесь: 0207106 .

Спасибо за ваш ответ. Но я не могу ясно понять ваше объяснение, потому что ваш язык кажется мне немного сложным. Вы имеете в виду, что два основных состояния димера модели MG имеют одинаковую симметрию? U ( я , Дж ) в то время как гамильтониан ЧАС не имеет?
Я изменил ответ, пожалуйста, посмотрите.
Хорошо. Как насчет суперпозиции двух димерных состояний? Например, является ли основное состояние ψ "=" λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 по-прежнему является собственным состоянием U ( я , Дж ) ? Большое спасибо.
И мне очень нравится ваше последнее предложение: « Именно эти эмерджентные симметрии делают эту модель разрешимой », так как это, возможно, один из фактов, делающих эмерджентные симметрии важными в физике.
Неа. Есть Н U ( 1 ) группы: U ( я , я + 1 ) , я "=" 1 , 2 , . . . , Н . | ψ 1 ⟩ инвариантна относительно действия половины этих групп, а | ψ 2 ⟩ другая половина.

Я думаю, что самый простой пример очень тесно связан с вашим предложением модели Изинга с двумя сайтами. Вместо этого рассмотрим двухсайтовую XX-цепочку:

ЧАС "=" о 1 Икс о 2 Икс + о 1 у о 2 у .
Ясно, что гамильтониан имеет U ( 1 ) симметрия (созданная о 1 г + о 2 г ), но он НЕ имеет полного С U ( 2 ) симметрия. Однако его (уникальное!) основное состояние — это спиновый синглет
| ψ гс ⟩ "=" 1 2 ( | ↑ 1 ↓ 2 ⟩ − | ↓ 1 ↑ 2 ⟩ ) .
Следовательно, его уникальное основное состояние имеет эмерджентную С U ( 2 ) симметрия.

Отлично, спасибо.
Здесь могут быть другие простые примеры. Рассмотрим решеточный фермионный гамильтониан ЧАС "=" ∑ я мю я н ^ я , где зависит от сайта мю я > 0 для каждого сайта. Тогда его уникальное основное состояние (вакуумное состояние) | 0 ⟩ имеет эмерджентную трансляционную симметрию. Точно так же мы можем добавить к гамильтониану прыжковые члены с нарушением обращения времени и выбрать достаточно сильный (однородный) химический потенциал, такой, что | 0 ⟩ является уникальным основным состоянием с возникающей симметрией обращения времени. Но я думаю, что эти примеры несколько тривиальны.
Простая модель, демонстрирующая эмерджентную симметрию?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v