Некоторые предельные случаи модели Гейзенберга XXZ (1/2)

ПРИМЕЧАНИЕ. Поскольку это был длинный вопрос, я разделил его на два разных вопроса!

Для курса по квантовой интегрируемости я читаю эти заметки. (Франчини: Заметки о методах анзаца Бете. Конспект лекций (2011))

У меня возникли некоторые вопросы относительно модели Heisenberg XXZ. Общая идея состоит в том, что мы будем решать несколько версий этой модели в классе, используя подход Bethe Ansatz. Однако основы мне еще не ясны. Рассмотрим гамильтониан:

$$\begin{equation} \hat{H} = - J \sum_{i=1}^N \left(S^x_jS^x_{j+1} + S^y_jS^y_{j+1} + \Delta S^z_jS^z_{j+1}\right) - 2h\sum_{i=1}^NS^z_j, \end{equation}$$ где мы имеем периодические граничные условия: $S^{\alpha}_{j+N} = S^{\alpha}_j$. В дальнейшем я установлю $h=0$.

1. Для$\Delta = 1$мы восстанавливаем модель Гейзенберга XXX. Сначала я думал, что основное состояние будет состоять из всех спинов, образующих угол 45 градусов с осью z, а проецируемая часть — под углом 45 градусов как к оси y, так и к оси x. Затем последуют эквивалентные основные состояния, выполняя повороты на 90 градусов вокруг оси z. Однако мне пришло в голову, что модель решается введением операторов переворота спина:$S^{\pm}_n := S^x_n \pm iS^y_n$. Я думаю, что это фактически означает, что вы квантуете вдоль z-направления, получая основное состояние$|0> = |\uparrow\uparrow\uparrow\dots\uparrow>$, со всеми вращениями в направлении z. Правильно ли это рассуждение? Конечно, я сделал спин в своем курсе квантовой механики, но я не могу установить связь с этим случаем и потерял с ним связь.

2. $\Delta=0$: модель XX или XY. По-видимому, «модель может быть точно отображена в свободные фермионы решетки» . Я понятия не имею, что это значит и как это работает. Использованная литература?