Что такое оператор поворота спина для спина > 1/2?

Question

Что такое оператор поворота спина для спина > 1/2?

Тарек

Для отжима $\frac{1}{2}$ , оператор поворота спина $R_\alpha(\textbf{n})=\exp(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\textbf{n})$ имеет простую форму :

р_{α} (н) "=" потому что (\frac{α}{2}) - я \vec{о} \cdot н грех (\frac{α}{2})

$R_\alpha(\textbf{n})=\cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)-i\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}\sin\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)$

А как насчет вращения > $\frac{1}{2}$ ?

Ви

Я почти уверен, что общая форма для экспоненты была бы слишком сложной. Первое наблюдение заключается в том, что спектр

- i α \vec{σ} \cdot n

$-i\alpha\vec\sigma\cdot\bf n$ в системе со спином

s

$s$ является

(- i α (- s), - i α (- s + 1), \dots, - i α (s - 1), - i α s)

$(-i\alpha(-s),-i\alpha(-s+1),\ldots,-i\alpha(s-1),-i\alpha s)$ и, таким образом, гониометрические функции аргументов

\frac{1}{2} α

$\frac12\alpha$ через

s α

$s\alpha$ для полуцелых спинов, или

0

$0$ (т.е. постоянный член) через

s α

$s\alpha$ для целых спинов будет присутствовать.

Ви

Например, в случае

s = 1

$s = 1$ с представлением, предложенным @Arnold Neumaier, см. en.wikipedia.org/wiki/… . Вы можете определить термины, включающие

\cos θ

$\cos\theta$ ,

\sin θ

$\sin\theta$ и константы в матричных элементах. Результат становится еще более сложным для более высоких вращений.

Ви

Причина, по которой экспонента имеет такой простой вид в случае

s = \frac{1}{2}

$s=\frac12$ в том, что

\frac{α}{2}

$\frac\alpha2$ - единственная частота, разрешенная анализом, который я опубликовал выше. Здесь помогает то, что силы

\vec{σ} \cdot n

$\vec\sigma\cdot\bf n$ всегда являются либо единицей, либо исходной матрицей. В более высоких измерениях множество

{S_{x}^{k}}^{n}

$\{S_x^k\}^n$ траектория

2 s + 1

$2s+1$ -мерное пространство непериодическим образом. Учитывать

S_{z} = d i a g (- s, - s + 1, \dots, s - 1, s)

$S_z = \mathord{\rm diag}(-s,-s+1,\ldots,s-1,s)$ .

Ответы (2)

Что такое оператор поворота спина для спина > 1/2?

Я почти уверен, что общая форма для экспоненты была бы слишком сложной. Первое наблюдение заключается в том, что спектр $-i\alpha\vec\sigma\cdot\bf n$ в системе со спином $s$ является $(-i\alpha(-s),-i\alpha(-s+1),\ldots,-i\alpha(s-1),-i\alpha s)$ и, таким образом, гониометрические функции аргументов $\frac12\alpha$ через $s\alpha$ для полуцелых спинов, или $0$ (т.е. постоянный член) через $s\alpha$ для целых спинов будет присутствовать.
Например, в случае $s = 1$ с представлением, предложенным @Arnold Neumaier, см. en.wikipedia.org/wiki/… . Вы можете определить термины, включающие $\cos\theta$ , $\sin\theta$ и константы в матричных элементах. Результат становится еще более сложным для более высоких вращений.
Причина, по которой экспонента имеет такой простой вид в случае $s=\frac12$ в том, что $\frac\alpha2$ - единственная частота, разрешенная анализом, который я опубликовал выше. Здесь помогает то, что силы $\vec\sigma\cdot\bf n$ всегда являются либо единицей, либо исходной матрицей. В более высоких измерениях множество $\{S_x^k\}^n$ траектория $2s+1$ -мерное пространство непериодическим образом. Учитывать $S_z = \mathord{\rm diag}(-s,-s+1,\ldots,s-1,s)$ .

Арнольд Ноймайер · Answer 1

То же, за исключением того, что $\sigma_k$ теперь являются не матрицами Паули, а образующими su(2)-представления желаемого спина. Например, $3\times 3$ матрицы

о_{ℓ} "=" (2 ϵ_{Дж к ℓ})_{Дж, к "=" 1 : 3}

$\sigma_\ell:=(2\epsilon_{jk\ell})_{j,k=1:3}$ определяют представление спина 1 на 3-векторах. [Возможно, множитель 2 должен принимать другое значение.] Соответствующая явная формула взята из формулы Родригеса

е^{Икс (а)} "=" 1 + \frac{грех | а |}{| а |} Икс (а) + \frac{1 - потому что | а |}{| а |} Икс (а)^{2},

$e^{X(a)}=1+\frac{\sin|a|}{|a|}X(a)+\frac{1-\cos|a|}{|a|}X(a)^2,$ где

X (a)

$X(a)$ это матрица, отображающая вектор

b

$b$ к

X (a) b = a \times b

$X(a)b=a \times b$ .

Для более высокого спина соответствующая формула будет зависеть от того, как вы напишете представление. Численно можно было бы просто диагонализовать матрицу в показателе степени; тогда вычисление экспоненты тривиально. Я не знаю, есть ли преимущество в явной формуле для общего вращения.

Что ж, экспоненциальная форма такая же, но экспонента не будет вычисляться по той же простой формуле, используя только одну $\cos$ и один $\sin$ половинного угла. Это было оправдано $-i\frac\alpha2\vec\sigma\cdot\bf n$ имеет только два чисто мнимых собственных значения противоположного знака. Генераторы в многомерных представлениях будут иметь соответственно большее число собственных значений, например, дополнительный $0$ в случае, если вы использовали для примера.
Конечно, я спрашиваю об аналогичной формуле разложения экспоненты по косинусам и синусам, а не о спиновой матрице!
По вашему вопросу нельзя догадаться, чего вы хотите, если вы не запишете это ясно. Возможно, вы хотите обновить свой вопрос.

Педро Агилар · Answer 2

Что есть за спин 1/2,

опыт (я α Дж \cdot \hat{н}) "=" потому что (α / 2) + я грех (α / 2) Дж \cdot \hat{н},

$\begin{equation} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) = \cos(\alpha/2) + i\sin(\alpha/2)\mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}, \end{equation}$ а также для спина 1 по формуле Родригеса,

\begin{aligned} опыт (я α Дж \cdot \hat{н}) & "=" 1 + я \hat{н} \cdot Дж грех α + (\hat{н} \cdot Дж)^{2} (потому что α - 1) \\ "=" 1 + [2 я \hat{н} \cdot Дж грех (α / 2)] потому что (α / 2) + \frac{1}{2} {[2 я \hat{н} \cdot Дж грех (α / 2)]}^{2}, \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) & = 1 + i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin\alpha + (\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J})^2(\cos\alpha-1) \\ & = 1 + \left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]\cos(\alpha/2) + \frac{1}{2}\left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]^2, \end{aligned} \end{equation}$ является спиновым представлением операторов вращения в виде полиномов конечного порядка генераторов вращения для

j = 1 / 2, 1

$j=1/2,1$ , где коэффициенты представляют собой синусы и косинусы половины угла поворота. Было известно, что это может быть расширено для более высоких представлений спина, но точное полиномиальное выражение для любого спина

j

$j$ остался неизвестным. К счастью, в 2014 году это общее выражение было найдено Curtright, Fairlie & Zachos. Оставляю здесь их публикацию: http://arxiv.org/abs/1402.3541

Что такое оператор поворота спина для спина > 1/2?

Тарек

Ви

Ви

Ви

Ответы (2)

Арнольд Ноймайер

Ви

Тарек

Арнольд Ноймайер

Педро Агилар

Запросы на вращение в КМ для системы спинов s=1s=1s = 1

Каково четырехмерное матричное представление оператора вращения?

Как показать конечное вращение системы со спином 1/2?

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Почему двухэлектронные системы обычно описывают в синглет-триплетном базисе?

Каково преобладающее мнение в научном сообществе об описании спина Гансом Ч. Оганяном?

Неправильный знак в угловом моменте (квантовая механика)

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

Матричное представление углового момента

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?