Запросы на вращение в КМ для системы спинов s=1s=1s = 1

Нет. При написании$\exp(i\alpha \hat n\cdot \vec J)$нужно использовать матрицы$\hat J_x,\hat J_y,\hat J_z$со стандартными коммутационными соотношениями:

$$[\hat J_x,\hat J_y]=i\hbar \hat J_z\, , \hbox{etc}$$ Для $s=1/2$, матрицы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям, равны $\{\textstyle\frac{1}{2}\sigma_x,\textstyle\frac{1}{2}\sigma_y,\textstyle\frac{1}{2}\sigma_z\}$скорее, чем $\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\}$, отсюда и необходимость $\textstyle\frac{1}{2}$фактор.

Да, в общем случае можно было бы получить матрицы для$\hat J_x$и$\hat J_y$, смешать их с$\hat J_z$строить$\exp(i\alpha \hat n\cdot \vec J)$и возвести в степень. Результат зависит не от базиса, а от базиса собственных состояний$\hat J_z$удобно, поскольку$\hat J_\pm$в этом базисе хорошо известны и легко вычисляются.

---

Изменить: в ответ на комментарий матрицы вращения обычно имеют вид

$$R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)=e^{-i \alpha L_z}e^{-i\beta Ly} e^{-i\gamma L_z}$$ Получить $R_x$нужно выбрать $\alpha=-\pi/2$и $\gamma=\pi/2$.

В базисе собственных состояний$\hat J_z$, вращение$R_x(\beta)=e^{i \pi L_z/2} R_y(\beta) e^{-i\pi L_z/2}$для$s=1/2$дан кем-то

$$R_x(\beta)=\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) & -i \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ -i \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)=e^{-i\beta \sigma_x/2}\, ,$$ с состояниями, заказанными как $\vert 1/2,1/2\rangle,\vert 1/2,-1/2\rangle$.

Для$\ell=1$соответствующий результат

$$R_x(\beta)=\left( \begin{array}{ccc} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & -\sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & \cos (\beta ) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} \\ -\sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)$$ для заказа $\vert 1,1\rangle, \vert 1,0\rangle, \vert 1,-1\rangle$