Что такое редуцированная матрица плотности: |0⟩|0⟩|0\rangle или |1⟩|1⟩|1\rangle с вероятностями 1/21/21/2?

Ошибка заключается в рассмотрении амплитуд вероятностей и состояний суперпозиции вместо вероятностей и смешанных состояний. Вообще неверно говорить, что состояние вида

$$\begin{equation} |\psi\rangle=\sqrt{p_0}|\psi_0\rangle+\sqrt{p_1}|\psi_1\rangle \end{equation}$$ имеет вероятность$p_0$быть обнаруженным в состоянии$|\psi_0\rangle$и вероятность$p_0$быть обнаруженным в состоянии$|\psi_1\rangle$. Единственный случай, когда можно сделать такое окончательное утверждение, — это когда два состояния в правой части ортогональны; т.е.,$\langle \psi_1| \psi_0\rangle=0$. Действительно, при невыполнении условия ортогональности состояние$|\psi\rangle$написанное здесь не нормализовано для$p_0+p_1=1$.

Правильнее всего представить нашу матрицу плотности в виде ансамбля чистых состояний. Это означает, что мы записываем матрицы плотности, которые мы получили бы из каждого из чистых состояний, и суммируем их вместе с весами, соответствующими их вероятностям. Итак, в этом случае мы напишем

$$\rho=p_0 |0\rangle\langle 0|+p_1 |-\rangle\langle -|=\frac{1}{2} |0\rangle\langle 0|+\frac{1}{2} |-\rangle\langle -|.$$ Этот тип «выпуклой комбинации» может быть распространен на любое количество состояний и любой набор вероятностей для состояний, включая непрерывное распределение вероятностей для непрерывного набора чистых состояний (но это не имеет значения здесь). Если вы сделаете это с рассчитанными вами состояниями, вы получите один из ответов с вашей картинки! Но я предупреждаю вас обратить внимание на знак минус в определении государства$|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}$потому что это изменит результат на другой ответ с вашей картинки.

Наконец, если мы возьмем общую матрицу плотности$\rho$, вероятность того, что он измерен , чтобы быть в состоянии$|\phi\rangle$дан кем-то

$$\begin{equation}\mathrm{Tr}\left(|\phi\rangle\langle\phi|\rho\right)=\langle\phi|\rho|\phi\rangle. \end{equation}$$ Вы не можете напрямую использовать этот метод, чтобы убедиться, что вы получили правильное решение, потому что, даже если состояние подготовлено в$|\psi_0\rangle$, все еще существует некоторая ненулевая вероятность того, что он будет измерен в любом другом состоянии$|\phi\rangle$с$\langle\phi|\psi_0\rangle\neq 0$.

Одной из основных причин введения матрицы плотности является описание систем, которые представляют собой классические «смеси» состояний, где каждое состояние связано с «классической» вероятностью. Такая «смесь» принципиально отличается от состояния суперпозиции. Состояния суперпозиции не соответствуют классической системе, где у вас есть вероятность найти систему в состоянии$|n\rangle$с вероятностью$p_n$.

Это легко проиллюстрировать, если мы посмотрим на зависящее от времени математическое ожидание оператора суперпозиции собственных состояний энергии. Например, состояние суперпозиции

$$|\psi\rangle = c_a|a\rangle +c_b|b\rangle$$ Зависимое от времени состояние будет $$|\psi(t)\rangle = c_ae^{-iE_at/\hbar }|a\rangle + c_b e^{-iE_bt/\hbar }|b\rangle$$ Теперь давайте посмотрим на математическое ожидание произвольного эрмитова оператора.$\hat O$ $$\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle &=\left( c_a^*e^{iE_at/\hbar }\langle a| + c_b^* e^{iE_bt/\hbar }\langle b|\right)|\hat O| \left( c_ae^{-iE_at/\hbar }|a\rangle + c_b e^{-iE_bt/\hbar }|b\rangle \right)\\ \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle &= |c_a|^2\langle a|\hat O|a \rangle + |b|^2\langle b|\hat O|b\rangle + 2\Re\left(c_a^*c_be^{i(E_a-E_b)t\hbar}\langle a|\hat O|b\rangle \right) \end{aligned}$$ Если предположить для простоты, что$c_a,c_b,\langle a|\hat O|b\rangle \in \Re$и определить$\omega_{ab}=(E_a- E_b)/\hbar$мы можем упростить до $$\langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle = |c_a|^2\langle a|\hat O|a \rangle + |b|^2\langle b|\hat O|b\rangle + 2c_ac_b \cos(\omega_{ab} t) \langle a|\hat O|b\rangle$$

Этот результат для зависящего от времени ожидаемого значения суперпозиции немного похож на сумму ожидаемого значения, связанного с состоянием a.$\langle a| \hat O|a\rangle\equiv O_a$взвешенный с вероятностью$p_a \equiv |c_a|^2$плюс ожидаемое значение состояния b$O_b$взвешенный с$p_b$если бы не зависящий от времени осциллирующий фактор$2c_ac_b \cos(\omega_{ab} t) \langle a|\hat O|b\rangle$это заставляет ожидаемое значение колебаться и меняться со временем. Это противоречит классической системе, в которой у вас есть фиксированные вероятности$p_a$и$p_b$. С «классическими» вероятностями вы не ожидаете каких-либо колебаний ожидаемого значения со временем и скорее предполагаете, что ожидаемое значение представляет собой просто взвешенную сумму ожидаемых значений.$\text{"classical sum"} = |c_a|^2O_a + |c_b|^2O_b$.

Что подводит нас к важному моменту, а именно к тому, что такую ​​систему невозможно описать одним состоянием, также называемым чистым состоянием.

$$\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle &\not = |c_a|^2O_a + |c_b|^2O_b\\ & \not= p_a O_a + p_b O_b\\ \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle &\not= |c_a|^2\langle a|\hat O|a\rangle + |c_b|^2\langle b|\hat O|b\rangle \end{aligned}$$ что дает ожидаемое значение, которое выглядит так, как будто оно было сформировано «классической» суммой состояний, взвешенных по вероятности.

Для описания систем, представляющих собой простые суммы классических вероятностей, нам понадобится формализм матриц/операторов плотности. Только в рамках этого формализма мы можем моделировать квантовые системы, которые являются «классическими» вероятностно-взвешенными суммами.

Проблема с вашим анзацем в том, что вы построили только состояния суперпозиции и не использовали свойство матриц плотности для описания «классических» вероятностей.

Формализм матрицы плотности позволяет нам строить взвешенные по вероятности суммы, подобные этому

$$\hat \rho = \sum p_n |n\rangle \langle n|$$

Это позволяет нам построить матрицу плотности на основе двух состояний, подобных этому:

$$\rho_{\text{classical}} = \left( \begin{matrix}|c_a|^2 & 0\\ 0 & |c_b|^2 \end{matrix}\right)$$

в то время как одно состояние суперпозиции всегда будет приводить к матрице вида

$$\rho_{\text{pure state}} = \left( \begin{matrix}|c_a|^2 & c_ac_b^*\\ c_a^*c_b & |c_b|^2 \end{matrix}\right)$$

Я надеюсь, что это поможет вам понять вопрос, на который тривиально ответить, если вы понимаете основы и «почему» формализма матрицы плотности/оператора.