Нормальный порядок и размытие

Question

Нормальный порядок и размытие

коммутатертот

Я прочитал в Википедии два разных описания «представления Husimi-Q». Во-первых, это функция Вигнера, свернутая с гауссианой, что, в частности, приводит к положительно определенной функции. Во-вторых, это «по существу» (их слова) матрица плотности, приведенная в нормальный порядок. У меня были некоторые проблемы с пониманием, почему они одинаковы.

Например, если мы позволим $H=\omega a^\dagger a$ , то тепловое состояние при обратной температуре $\beta$ является

р "=" Н опыт (- β ЧАС),

$\rho=N\exp(-\beta H),$ который (если я все сделал правильно) нормально-приказывает

: р "=" Н опыт (- β^{'} ЧАС),

$:\rho:=N\exp(-\beta'H),$ где

β^{'} "=" - бревно (1 - β ю) / ю .

$\beta'=-\log(1-\beta\omega)/\omega.$ Это кажется мне довольно патологическим (игнорируя проблему, что эта новая матрица плотности не кажется нормализованной): у нас есть

β^{'} > β

$\beta'>\beta$ , поэтому система находится при более низкой температуре, поэтому я ожидаю, что распределение в фазовом пространстве будет «менее размытым», а не «более размытым» (конечно, в классическом смысле это верно), и при

β ω = 1

$\beta\omega=1$ мы имеем сингулярное поведение: для любой температуры ниже, чем

ω

$\omega$ , похоже, что объект, который мы получим, будет присваивать отрицательные вероятности определенным состояниям.

Я неправильно сделал расчет? Означает ли нормальный порядок здесь что-то иное, чем нажатие $a$ справа от $a^\dagger$ с? Существуют ли другие контексты, в которых мы можем думать о нормальном упорядочении как о размытии функций распределения?

Ответы (1)

Нормальный порядок и размытие

Любопытный Разум · Answer 1

Q-функция и P-функция

Q-функция Хусими матрицы плотности $\rho$ определяется

{Вопрос}_{р} (α) "=" \frac{1}{π} ⟨ α | р | α ⟩

$Q_\rho(\alpha) = \frac{1}{\pi}\langle \alpha \vert \rho \vert \alpha \rangle$ где

р "=" \frac{1}{π} \int р_{кох} (α, α^{*}) | α ⟩ ⟨ α | д α д α^{*}

$\rho = \frac{1}{\pi}\int\rho_\text{coh}(\alpha,\alpha^\ast)\lvert \alpha \rangle\langle\alpha\lvert\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha^\ast$ в когерентных состояниях.

P_{ρ} (α, α^{*}) := \frac{1}{π} ρ_{coh} (α, α^{*})

$P_\rho(\alpha,\alpha^\ast) := \frac{1}{\pi}\rho_\text{coh}(\alpha,\alpha^\ast)$ есть P-функция Глаубера–Сударшана . следует с

⟨ β | α ⟩ = e^{- β^{*} β / 2 - α^{*} α / 2 + β^{*} α}

$\langle \beta\vert \alpha\rangle = \mathrm{e}^{-\beta^\ast\beta/2-\alpha^\ast\alpha/2 + \beta^\ast\alpha}$ что

\begin{aligned} {Вопрос}_{р} (β) & "=" \int п_{р} (α, α^{*}) ⟨ β | | α ⟩ ⟨ α | | β ⟩ д α д α^{*} \\ "=" \int п_{р} (α, α^{*}) е^{- β^{*} β - α^{*} α + β^{*} α + β α^{*}} д α д α^{*} \\ "=" \int п_{р} (α, α^{*}) е^{- | β - α |^{2}} д α д α^{*} \end{aligned}

$\begin{align} Q_\rho(\beta) & = \int P_\rho(\alpha,\alpha^\ast)\langle\beta\vert \lvert \alpha \rangle\langle\alpha\lvert\vert \beta\rangle\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha^\ast\\ & = \int P_\rho(\alpha,\alpha^\ast)\mathrm{e}^{-\beta^\ast\beta-\alpha^\ast\alpha + \beta^\ast\alpha + \beta\alpha^\ast}\mathrm{d}\alpha\mathrm{d} \alpha^\ast \\ & = \int P_\rho(\alpha,\alpha^\ast)\mathrm{e}^{-\lvert \beta-\alpha\rvert^2}\mathrm{d}\alpha\mathrm{d} \alpha^\ast \end{align}$

Нормальный порядок и антинормальный порядок

Q-функция естественно нормальных порядков $\rho$ . С $a\lvert \alpha \rangle = \alpha \lvert\alpha\rangle$ , у нас есть это $f(a)\lvert \alpha\rangle = f(\alpha)\lvert \alpha\rangle$ и $\langle \alpha \rvert f(a^\dagger) = \langle\alpha\rvert \alpha^\ast$ , поэтому для нормально упорядоченного символа $f_N(a,a^\dagger)$ со всеми аннуляторами справа и со всеми творцами слева, мы имеем $\langle \alpha\rvert f_N(a,a^\dagger)\lvert \alpha\rangle = f_N(\alpha,\alpha^\dagger)$ , и так

{Вопрос}_{р} (α) "=" \frac{1}{π} р_{Н} (α, α^{*})

$Q_\rho(\alpha) = \frac{1}{\pi}\rho_N(\alpha,\alpha^\ast)$

P-функция естественным образом антинормальна. $\rho$ . Расширять

р_{А} (а, а^{†}) "=" \sum_{я, Дж} р_{я, Дж} а^{я} (а^{†})^{Дж}

$\rho_A(a,a^\dagger) = \sum_{i,j}\rho_{i,j}a^i (a^\dagger)^j$ и вставляем отношение полноты

1 = \frac{1}{π} \int | α ⟩ ⟨ α | d α d α^{*}

$\mathbf{1} = \frac{1}{\pi}\int\lvert\alpha\rangle\langle\alpha\rvert\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha^\ast$ получить

п_{р} (α, α^{*}) "=" \frac{1}{π} р_{А} (α, α^{*})

$P_\rho(\alpha,\alpha^\ast) = \frac{1}{\pi}\rho_A(\alpha,\alpha^\ast)$

Что немного сбивает с толку, так это то, что этот рецепт упорядочения прямо противоположен тому, что он делает с наблюдаемыми. Можно обнаружить, что антинормальные упорядоченные математические ожидания вычисляются с помощью Q-функции, а нормальные упорядоченные математические ожидания вычисляются с помощью P-функции, т.е.

\begin{aligned} ⟨ О_{А} (а, а^{†}) ⟩ & "=" \int Вопрос (α, α^{*}) О_{А} (α, α^{*}) д α д α^{*} \\ ⟨ О_{Н} (а, а^{†}) ⟩ & "=" \int п (α, α^{*}) О_{Н} (α, α^{*}) д α д α^{*} \end{aligned}

$\begin{align} \langle \mathcal{O}_A(a,a^\dagger) \rangle & = \int Q(\alpha,\alpha^\ast) \mathcal{O}_A(\alpha,\alpha^\ast)\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha^\ast \\ \langle \mathcal{O}_N(a,a^\dagger) \rangle & = \int P(\alpha,\alpha^\ast) \mathcal{O}_N(\alpha,\alpha^\ast)\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha^\ast \end{align}$

Спасибо! Я все еще немного смущен: если $\rho_N$ нормально заказано, я вижу, что $\langle\alpha\vert\rho_N(a,a^\dagger)\vert\alpha\rangle = \rho_N(\alpha,\alpha^*)$ , а для произвольно заказанного $\rho$ у нас есть определение $Q_\rho(\alpha)=\langle \alpha\vert\rho\vert\alpha\rangle$ , но я не понимаю, как они связаны. В частности, $\langle\alpha\vert\rho\vert\alpha\rangle$ не обязательно будет равно $\langle\alpha\vert :\rho: \vert\alpha\rangle$ , верно? Извините, если я туплю.
@commutatertot: Как операторы, $\rho(a,a^\dagger) = \rho_N(a,a^\dagger)$ . я не использую $:\rho :$ , что является нормальным порядком операторов в нем и просто отбрасыванием членов, которые вы выбираете из коммутационных соотношений. то есть $: a a^\dagger : = a^\dagger a$ , но $(a a^\dagger)_N = a^\dagger a + 1$ .
Ах я вижу; в моем вопросе я использовал обычный порядок «игнорировать коммутационные отношения». Спасибо!

Нормальный порядок и размытие

коммутатертот

Ответы (1)

Любопытный Разум

Q-функция и P-функция

Нормальный порядок и антинормальный порядок

коммутатертот

Любопытный Разум

коммутатертот

Решение динамики матрицы плотности

Что такое редуцированная матрица плотности: |0⟩|0⟩|0\rangle или |1⟩|1⟩|1\rangle с вероятностями 1/21/21/2?

Сумма двух матриц плотности: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Физическая реализация трехуровневой системы

Являются ли когерентные состояния света «классическими» или «квантовыми»?

След матрицы плотности для смешанного состояния

Матрицы 2x2, которые не являются действительными квантовыми состояниями

Квантовая запутанность неразличимых частиц

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга