Сумма двух матриц плотности: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2

Предположим, у нас есть

р "=" п 1 р 1 + п 2 р 2
Где р 1 и р 2 матрицы плотности с п 1 + п 2 "=" 1 .

Я пытаюсь показать, что это тоже матрица плотности .

Если мы позволим

р 1 "=" ∑ я н п ψ я | ψ я ⟩ ⟨ ψ я |
и
р 2 "=" ∑ я н п ф я | ф я ⟩ ⟨ ф я | .
Я предполагаю, что эти две матрицы плотности имеют размер н , иначе их добавление не имело бы никакого смысла. У меня проблемы с пониманием того, как это создает матрицу плотности, если бы это было так, то это хотело бы описывать вероятности комбинаций комбинированных квантовых состояний, которые были бы н 2 × н 2 матрица? Это все, что я вижу как физическую интерпретацию этого как.

Подойдя к этому более математически, каждый н × н матрица в сумме по обоим п 1 р 1 и п 2 р 2 имеет коэффициент п 1 п ψ я + п 2 п ф я и

∑ я н п 1 п ψ я + п 2 п ф я "=" ∑ я н п 1 ( п ψ я − п ф я ) + п ф я "=" 1 ,

Что многообещающе (и единственный способ, который я нашел до сих пор, чтобы использовать условие на п 1 , п 2 ), но, насколько я понимаю, этот фактор ничего не значит. Любая помощь будет принята с благодарностью, я немного потерялся!

Комментарий к формулировке вопроса (v1). Следует дополнительно предположить, что п 1 , п 2 ≥ 0 .

Ответы (2)

Это зависит от того, что вы понимаете под «матрицей плотности». Вы, кажется, думаете, что это относится к операторам вида

(1) р "=" ∑ к "=" 1 н п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к | ,
где п к ≥ 0 для всех к , ∑ к "=" 1 н п к "=" 1 , и | ψ к ⟩ являются векторами в некоторых Н -мерное гильбертово пространство ЧАС . В отличие от этого, ответ QMechanic основан на характеристике матриц плотности как положительно полуопределенных эрмитовых операторов со следом 1. Доказательство эквивалентности этих определений является очень информативным упражнением и, вероятно, научит вас большему, чем ваша текущая проблема.

Чтобы доказать, что р "=" п 1 р 1 + п 2 р 2 является матрицей плотности по вашему определению, вам нужно будет полагаться на разложение собственного значения-собственного вектора. Письмо р как в уравнении (1) возможно, потому что р является эрмитовым; проблема заключается в том, чтобы доказать два условия на п к . Первый эквивалентен р быть положительно полуопределенным (почему?), и это вы можете доказать, используя (настоящее) абстрактное определение этого:

⟨ в | р в ⟩ ≥ 0 ∀ в е ЧАС .
Условие суммы, которое вы можете доказать, взяв след различных выражений, которые у вас есть для р .

Ах, спасибо за разъяснение, теперь я нашел эту теорему и буду работать над доказательством, я согласен, это будет очень полезно для моего понимания. Спасибо, что прошлись по методу без использования этой теоремы, я очень благодарен за ваше время!

Подсказки:

Оператор плотности по определению является (полу-) положительным оператором со следом, равным единице.

ОП по существу спрашивает

Является ли выпуклая линейная комбинация операторов плотности снова оператором плотности?

Ответ: Да, потому что:

  1. Полуположительные операторы образуют конус , и

  2. след линейный.

Чтобы увидеть пт. 1, обратите внимание, что операторы А в комплексе 1 Гильбертовы пространства наслаждаются характеристиками

А   полуположительный ⇔ ∀ в е ЧАС   :   ⟨ в | А в ⟩   ≥   0 ,

и

А   эрмит ⇔ ∀ в , ж е ЧАС   :   ⟨ в | А ж ⟩   "="   ⟨ А в | ж ⟩
⇔ ∀ в е ЧАС   :   ⟨ в | А в ⟩   "="   ⟨ А в | в ⟩ ⇔ ∀ в е ЧАС   :   ⟨ в | А в ⟩   е р .

--

1 Эти характеристики неверны для реальных гильбертовых пространств, поэтому здесь мы используем формулировку квантовой механики в комплексных гильбертовых пространствах.

Спасибо :) Ради интереса, что представляет собой эта выпуклая линейная комбинация операторов плотности по отношению к квантовой системе?
@Freeman Выпуклая линейная комбинация р "=" ∑ к п к р к с ∑ к п к "=" 1 и п к ≥ 0 представляет собой вероятностную смесь состояний р к , с соответствующими вероятностями п к .
Сумма двух матриц плотности: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v