След матрицы плотности для смешанного состояния

На странице 5 этого онлайн-документа утверждается, казалось бы, тривиальный факт: если у нас есть матрица плотности для смешанного состояния, определяемая

р ^ "=" ∑ к п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к |

где { | ψ к ⟩ } являются (не обязательно ортогональными) чистыми состояниями, то мы имеем следующую двустороннюю импликацию:

Тр ⁡ ( р ^ ) "=" 1       ⟺       ∑ к п к "=" 1

Мне это кажется интуитивно понятным, но когда я пытаюсь перейти с левой стороны на правую, я застреваю. Вот что я имею в виду:

Тр ⁡ ( р ^ ) "=" ∑ м ⟨ ψ м | р ^ | ψ м ⟩ "=" ∑ м ⟨ ψ м | ( ∑ к п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к | ) | ψ м ⟩ "=" ∑ к п к ∑ м | ⟨ ψ м | ψ к ⟩ | 2

Сейчас если { | ψ к ⟩ } ортогонален, то | ⟨ ψ м | ψ к ⟩ | 2 "=" дельта м к и все получается легко - но они не ортогональны. Итак, что мне делать?

Ваша процедура вычисления трассировки неверна! Если ψ н s не являются ортонормированными векторами т р ( р ) ≠ ∑ н ⟨ ψ н | р ψ н ⟩ ...Начиная с р ^ "=" ∑ к п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к | , вы должны использовать другой ортонормированный базис для вычисления трассы, и ваша процедура, принимая это во внимание, дает желаемый результат.
Вы на 100% уверены, что ссылка верная? = Д
Ваш «онлайн-документ», похоже, вообще ничего не говорит о матрицах плотности ...
О боже, не могу поверить, что случайно вставила эту ссылку. XD Мой плохой. Теперь это изменилось.
@ValterMoretti Я думал, что трассировка не зависит от базиса, и поэтому не имело значения, какой базис я выбрал для суммирования, если матрица плотности выражена в терминах того же базиса.
След является базисно-инвариантным в том смысле, что суммирование диагональных элементов матрицы не зависит от базиса, выбранного для представления линейной карты. Попробуйте сделать то, что вы сделали, для простого примера, и вы увидите, что трасса не инвариантна в этом смысле.
Трасса не зависит от базы, если она определена правильно , т. е. с использованием ортонормированного базиса. В вашем случае набор векторов не обязательно является базисом, ортонормированным или нет.
В вашем файле пункт 7 неверен, если только не указать, что векторы | н ⟩ образуют ортонормированный базис.

Ответы (1)

Давайте сосредоточимся на вашей цепочке личностей.

Тр ( р ^ ) "=" ∑ м ⟨ ψ м | р ^ | ψ м ⟩ "=" ∑ м ⟨ ψ м | ( ∑ к п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к | ) | ψ м ⟩ "=" ∑ к п к ∑ м | ⟨ ψ м | ψ к ⟩ | 2
Смысл вышеприведенных выводов в том, что первая строка является правильным определением трассировки тогда и только тогда, когда векторы | ψ м ⟩ образуют ортонормированный базис. В противном случае правая часть не является следом р ^ и на этом рассуждения останавливаются.

Если векторы | ψ м ⟩ нормированы, но не взаимно ортогональны и

р ^ "=" ∑ к п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к | ,
тогда правильная процедура состоит в том, чтобы выбрать ортонормированный базис векторов | ф м ⟩ а потом
Тр ( р ^ ) "=" ∑ м ⟨ ф м | р ^ | ф м ⟩ "=" ∑ м ⟨ ф м | ( ∑ к п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к | ) | ф м ⟩ "=" ∑ к п к ∑ м | ⟨ ф м | ψ к ⟩ | 2 "=" ∑ к п к | | | ψ к ⟩ | | 2 "=" ∑ к п к 1 "=" ∑ к п к
поэтому у нас есть желаемое двустороннее следствие, о котором вы упоминаете:

Тр ( р ^ ) "=" 1       ⟺       ∑ к п к "=" 1 .

Ну ладно, это кристально ясно. Затем мое замешательство было вызвано тем фактом, что, как вы указали в своем последнем комментарии, автор этой статьи не указал, что в определении трассы сумма берется по ортонормированному базису.
Я рад, что вы уловили суть.
След матрицы плотности для смешанного состояния
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v