Что такое замкнутый ток?

Вы подчеркнули тот факт, что вы можете выбрать * любую (хорошо известную) поверхность, пока она ограничена петлей Ампера, что означает, что$\displaystyle \mu_0 \iint_{S_1} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}=\mu_0 \iint_{S_2} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a} = . . . . . =\mu_0 \iint_{S_{\rm n}} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a} = \, . . . . .$

Часто используемая аналогия состоит в том, что петля Ампера и поверхность эквивалентны саку для бабочек.

Как только направление интегрирования выбрано, в данном случае по часовой стрелке, направление нормалей к поверхности определяется правилом правой руки, поэтому на диаграмме выше нормали указывают «наружу, от поверхности».

Рассмотрим поверхности, определенные на вашей диаграмме, с нормалями к показанным поверхностям.

Поверхность$S_1$имеет все вклады от$\mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}$будучи положительным.

Для поверхности$S_2$есть положительные (синяя нормаль) и отрицательные (красная нормаль) интеграл. Отрицательные вклады компенсируют некоторые положительные вклады, чтобы сделать интеграл таким же, как для поверхности.$S_1$.
Один из способов визуализировать это — представить области, спроецированные на плоскость, перпендикулярную$\mathbf J$.

Часто простейшей поверхностью для рассмотрения является плоскость, определяемая петлей Ампера.$S_0$где все нормали параллельны друг другу и$\mathbf{J}$что упрощает интеграцию с$\displaystyle \mu_0 \iint_{S_{\rm n}} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a} =\mu_0 \iint_{S_{\rm 0}} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}$.

Если вы думаете об этом простыми словами, то термин$\mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}$такой же как$J\,da\,\cos \theta$где$da\,\cos \theta$- площадь проекции на плоскость, и сумма площадей будет одинаковой для положительных и отрицательных вкладов в интеграл. Ниже я попытался проиллюстрировать это.

Термин$\mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}$относится к потоку заряда через площадь.
Если заряд не накапливается в объеме, ограниченном площадями$S_0$и$S_2$тогда поток заряда через площадь$S_0$в объеме должен быть таким же, как поток через площадь$S_2$вне объема.

«Но все, что мне нужно сделать, это заштриховать петлю Ампера, чтобы сделать ее замкнутой поверхностью». Это не работает. Поверхность, ограниченная замкнутым контуром, всегда должна быть открытой поверхностью. То, что вы создали, — это две поверхности, через которые проходит ток, так что вы просто повторяете закон Ампера дважды.

Вы можете думать о токах, заключенных в петле Ампера.$C$как токи, которые проходят через любую поверхность$S$- как бы вы его ни деформировали, лишь бы не продырявить в нем дыры, - то, что окружено$C$.

С топологической точки зрения петля Ампера$C$по которой вы вычисляете интеграл, и петля, по которой течет замкнутый ток, связаны, как два соседних звена цепи: вы не можете раздвинуть их, не пересекая друг друга.

Электричество — это всегда открытая система, поэтому закрытых на самом деле не существует. Ваше электрическое поле либо эндотермическое, либо экзотермическое. Это означает, в каком направлении действует сила по отношению к проводу. Вы понимаете меня? Если нет, спросите