Вывод закона Ампера из Био-Савара

Закон Био-Савара гласит, что в магнитостатических условиях ($\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow 0$),

$$\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J(\mathbf r') \times (\mathbf r - \mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|^3} dV'$$

отмечая, что

$$\frac{\mathbf r - \mathbf r'}{|\mathbf r - \mathbf r'|^3} = \nabla \left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right)$$ где$\nabla$относится к дифференцированию по незаштрихованным координатам, это можно записать

$$\mathbf B(\mathbf r) = \nabla \times\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$$

Принимая во внимание это и используя тот факт, что$\nabla \times (\nabla \times \mathbf F) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf F) - \nabla^2 \mathbf F$,

$$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \nabla\left(\int J(\mathbf r')\cdot \nabla\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]dV'\right) - \nabla^2 \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$$

отмечая, что

$$\nabla\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right] = -\nabla'\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]$$

мы можем проинтегрировать первый член по частям, чтобы получить

$$\nabla\left(\int \nabla' \cdot \left[\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]dV' - \int\frac{\nabla' \cdot \mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|} dV'\right)$$

Первый член является поверхностным и исчезает, если мы предположим, что$\mathbf J(\mathbf r') \rightarrow 0$как$|\mathbf r'| \rightarrow \infty$. Второй член исчезает, так как согласно уравнению неразрывности$\nabla\cdot\mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$в магнитостатике. Это оставляет нас с

$$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \nabla^2 \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$$

и с тех пор

$$\nabla^2 \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} = 4\pi \delta^{(3)}(\mathbf r - \mathbf r')$$

у нас есть

$$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$$ .

---

Опять же, Био-Савар действителен только в магнитостатических условиях, и, следовательно, эта версия закона Ампера такова. Было бы неплохо ослабить эти условия и переделать этот вывод в более общем виде, но мы пока не знаем, чем заменить Био-Савара.

Вместо этого давайте посмотрим, почему эта версия закона Ампера не работает, когда мы переходим к общей электродинамике. Ясно с тех пор$\mathbf J \propto \nabla \times \mathbf B$, у нас есть это$\nabla \cdot \mathbf J = 0$. Однако, согласно общему уравнению неразрывности,$\nabla \cdot \mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$.

Чтобы исправить это, давайте предположим, что нам нужен новый термин, поэтому

$$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \mathbf G$$

для некоторого векторного поля$\mathbf G$. Взятие расхождения обеих сторон дает

$$0 = - \mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf G$$

$$\implies \nabla \cdot \mathbf G = \mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t}$$

Из закона Гаусса для электрических полей мы знаем, что$\rho = \epsilon_0 \nabla \cdot \mathbf E$, и так

$$\nabla \cdot \mathbf G = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \mathbf E = \nabla \cdot \left(\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}\mathbf E\right)$$

и поэтому мы можем просто постулировать, что

$$\mathbf G = \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$$

так

$$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$$

Это была поправка Максвелла к закону Ампера, и она снова и снова подтверждалась экспериментом.

---

Таким образом, магнитостатика + Био-Савар дает нам$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$. Как и ожидалось, это терпит неудачу, когда мы покидаем область магнитостатики, и, в частности, несовместимо с уравнением неразрывности. Мы не знаем, как обобщить Био-Савара, но подлатав задачу уравнением неразрывности простейшим из возможных способов, мы получим правильный закон Ампера,$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}\mathbf E$.

Исходя из этого, мы можем работать в обратном направлении, чтобы найти правильное обобщение Био-Савара; это одно из уравнений Ефименко .

---

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Возврат к исходному выводу после устранения поверхностного члена (но перед отправкой$\nabla'\cdot \mathbf J(\mathbf r')\rightarrow 0$), у нас есть

$$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \mu_0 \mathbf J(\mathbf r) - \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\nabla '\cdot \mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$$

При условиях Био-Савара последний член равен нулю; однако мы можем быть смелыми и отбросить эти ограничения, просто чтобы посмотреть, что произойдет. В общих условиях,$\nabla \cdot \mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$, так что этот термин становится

$$\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int \frac{\partial \rho}{\partial t} \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} dV'= \frac{\partial}{\partial t} \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int\frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$$

определение

$$\phi(\mathbf r) = \int \frac{\rho(\mathbf r')}{4\pi \epsilon_0 |\mathbf r-\mathbf r'|}$$ и сдача$\mathbf E = -\nabla\phi$, это становится

$$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$$

То, что мы сделали здесь — просто проигнорировали условия, при которых применимо уравнение Био-Савара, и подставили более общее уравнение неразрывности — морально то же самое, что добавление Максвеллом дополнительного члена, чтобы компенсировать ненулевое расхождение$\mathbf J$.

Заметьте также, что мы упустили из виду, как перейти от магнитостатики к электродинамике.$\big(\mathbf J(\mathbf r) \rightarrow \mathbf J(\mathbf r,t), \rho(\mathbf r)\rightarrow \mathbf \rho(\mathbf r,t)\big)$. Просто подключив$t$к Био-Савару и позволить ему «покататься» недостаточно; работа в обратном направлении от полных уравнений Максвелла демонстрирует необходимость введения запаздывающего времени$t_r = t - \frac{|\mathbf r - \mathbf r'|}{c}$, что указывает на то, что Био-Савар действительно ошибается в отношении электродинамики.

Наша цель – вывести$\nabla\times \mathbf B=\mu_0\left(\mathbf J+\epsilon_0\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}\right)$.

Вы не можете вывести полный закон Ампера выше (включая$\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$) из закона Био-Савара

$$\mathbf A(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'.$$

Можно только вывести неполный закон Ампера (без$\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$)

$$\nabla\times \mathbf B=\mu_0\mathbf J$$ от него.

---

Я просто пытаюсь понять смысл этого термина$\partial \mathbf{E}/\partial t$

Термин$\partial \mathbf{E}/\partial t$можно лучше всего мотивировать, следуя по пути Максвелла.

До Максвелла сохранение заряда было уже хорошо установленным экспериментальным фактом. Записанное в виде дифференциального уравнения, это

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}=0. \tag{1}$$

Максвелл также знал эти законы:

$$\epsilon_0\mathbf{\nabla}\mathbf{E}=\rho \tag{M1}$$ $$\mathbf{\nabla}\mathbf{B}=0 \tag{M2}$$ $$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{B} \tag{M3}$$ $$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{J} \tag{M4}$$ Все это, по-видимому, тоже было хорошо установленными экспериментальными фактами.

Теперь из (M1) Максвелл мог вывести

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\nabla}\mathbf{E}$$ и из (М4) $$\nabla{\mathbf{J}}=0.$$ Следовательно $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}\neq 0$$ что явно противоречит (1).

Значит, один из законов (1), (M1) и (M4) должен быть неверным. Тем не менее, все они должны быть как минимум очень хорошими приближениями, потому что все эксперименты, проведенные до него, не обнаружили никаких отклонений.

Решение Максвелла состояло в том, чтобы изменить уравнение (M4):

$$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E} \tag{M4'}$$

Это имеет два следствия:

1. Дополнительный срок$\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E}$крайне мало из-за малого значения$\epsilon_0$. И поэтому немодифицированное уравнение (М4) по-прежнему является очень хорошим приближением, и изменение неизмеримо мало во всех экспериментах, проведенных до сих пор с токами и магнитными полями.
2. Дополнительный член спасает сохранение заряда. Теперь из (M1) снова получаем $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\nabla}\mathbf{E}$$ и из (М4') теперь получаем $$\nabla{\mathbf{J}}=-\epsilon_0\mathbf{\nabla}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E}.$$ Следовательно $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}=0$$ что теперь согласуется с (1).

Вскоре после этого правильность модификации Максвелла была экспериментально подтверждена открытием высокочастотных электромагнитных волн. Здесь термин$\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$важно.

---

Уравнения Максвелла (M1), (M2), (M3) и (M4') могут быть решены и приводят к запаздывающим потенциалам (с$c:=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$):

$$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)&=\frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf J\left(\mathbf r',t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}\right)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV' \\ \Phi(\mathbf r,t)&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int\frac{\rho\left(\mathbf r',t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}\right)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'. \end{align}$$

Очевидно, что эти потенциалы не идентичны потенциалам Био-Савара и Кулона из-за запаздывающего члена$-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}$.

Но - из-за очень большого значения$c$(скорость света) — этим термином, замедляющим время, часто можно пренебречь, особенно когда плотности$\mathbf{J}$и$\rho$только медленно меняются со временем$t$. Таким образом, мы восстанавливаем потенциалы Био-Савара и Кулона как приближение к точным запаздывающим потенциалам.

$$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)&\approx\frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf J(\mathbf r',t)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV' \\ \Phi(\mathbf r,t)&\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int\frac{\rho(\mathbf r',t)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'. \end{align}$$