Вывод закона Био-Савара из уравнений Максвелла

Question

Вывод закона Био-Савара из уравнений Максвелла

ДжОстин

В качестве упражнения я пытался вывести закон Био-Савара из второго набора уравнений Максвелла для стационарного тока.

\begin{aligned} \nabla \cdot Б знак равно 0 & \nabla \times Б знак равно {мю}_{0} Дж \end{aligned}

$\begin{align}&\nabla\cdot\mathbf{B}=0&&\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}\end{align}$

Я смог сделать это, используя тот факт, что несжимаемое поле имеет векторный потенциал $\mathbf{A}$ , что позволяет мне переписать второе уравнение как

\nabla^{2} А знак равно - {мю}_{0} Дж

$\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$

которое можно решить с помощью компонентов, используя функцию Грина для лапласиана, что дает

А (Икс) знак равно \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int \frac{Дж ({Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |} д^{3} {Икс}^{'}

$\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^{3}\mathbf{x}'$

и с тех пор $\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)=\psi\nabla\times\mathbf{J}+\nabla\psi\times\mathbf{J}$ ,

\nabla \times А знак равно Б (Икс) знак равно \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int \frac{Дж \times (Икс - {Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |^{3}} д^{3} {Икс}^{'}

$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^{3}\mathbf{x}'$

по желанию. Однако, если вместо этого я возьму завиток обеих сторон закона Ампера и воспользуюсь тождеством $\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}$ изначально я нахожу, что

\nabla (\nabla \cdot Б) - \nabla^{2} Б знак равно 0 - \nabla^{2} Б знак равно {мю}_{0} \nabla \times Дж

$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}=0-\nabla^2\mathbf{B}=\mu_0\nabla\times\mathbf{J}$

которое я снова могу решить, как уравнение Пуассона, что дает

Б (Икс) знак равно - \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int \frac{\nabla^{'} \times Дж ({Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |} д^{3} {Икс}^{'}

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^3\mathbf{x}'$

которое можно упростить, используя тождество $\psi(\nabla\times\mathbf{J})=-\nabla\psi\times\mathbf{J}+\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)$ , давая

Б (Икс) знак равно \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int \frac{Дж ({Икс}^{'}) \times (Икс - {Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |^{3}} д^{3} {Икс}^{'} - \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int \nabla^{'} \times (\frac{Дж ({Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |}) д^{3} {Икс}^{'}

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^3\mathbf{x}'-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}'$

Первый интеграл — это в точности закон Био-Савара, но я понятия не имею, как заставить второй интеграл обратиться в нуль. Я исчерпал все очевидные тождества векторного исчисления, и теорема Стокса не очень помогает. Я явно пропускаю очевидную ошибку, но я не смог ее найти. Это похоже на другие вопросы, которые задавались ранее, но у меня есть конкретный вопрос о шаге в выводе, на который нет ответа в другом месте.

Фробениус

Во втором уравнении пропущен знак минус

\begin{matrix} (01) & \nabla^{2} А знак равно - {мю}_{0} Дж \end{matrix}

$\nabla^2\mathbf{A}=\boldsymbol{-}\mu_0\mathbf{J} \tag{01}$ поскольку

\begin{matrix} (02) & \nabla \times Б знак равно \nabla \times (\nabla \times А) знак равно \nabla \overset{знак равно 0}{\overset{⏞}{(\nabla \cdot А)}} - \nabla^{2} А знак равно - \nabla^{2} А \end{matrix}

$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla} \overbrace{(\nabla\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}^{=0}-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\nabla^{2}\mathbf{A} \tag{02}$

АХБ

Я думаю, что Био-Саварат более фундаментален, чем уравнения Максвелла. Я думаю, что нужно было сделать обратный процесс!

томф

@AHB ваше замечание неверно. Уравнение Максвелла является основой электродинамики. Они фундаментальны в том смысле, что из них может быть выведена вся электродинамика (вместе с законом силы Лоренца). Нет ничего "фундаментальнее" их

АХБ

@tomph Я имею в виду, что закон выводится до вывода уравнений Максвелла. В учебниках говорят о законе bs, прежде чем вводят уравнения Максвелла.

Хавьер

@AHB: Ни один из законов не является производным, или, если хотите, они оба могут быть производными друг от друга. Но вы не можете начать учебник, выводящий закон Био-Савара; это экспериментальный результат.

Ян Лалински

@tomph, формулу силы Лоренца нельзя вывести из уравнений Максвелла.

томф

@ JánLalinský Да, на самом деле я сказал, что «вся электродинамика может быть получена из [ME] ( вместе с законом силы Лоренца )», что означает, что вам нужны все 4 ME и LFL для получения электродинамики.

Ян Лалински

@tomph, спасибо за разъяснение. Я не носитель языка, я неправильно понял ваш пост.

АХБ

Привет @Tomph! Если вы понимаете, о чем я. Закон силы Лоренца приводит к закону Био-Саварата. Затем мы приходим к уравнениям Максвелла. Дело в последовательности. Никто не начинает с уравнений Максвелла, чтобы найти более фундаментальные законы. Ах.

Ответы (2)

Вывод закона Био-Савара из уравнений Максвелла

Во втором уравнении пропущен знак минус $\begin{matrix} (01) & \nabla^{2} А знак равно - {мю}_{0} Дж \end{matrix}$ $\nabla^2\mathbf{A}=\boldsymbol{-}\mu_0\mathbf{J} \tag{01}$ поскольку $\begin{matrix} (02) & \nabla \times Б знак равно \nabla \times (\nabla \times А) знак равно \nabla \overset{знак равно 0}{\overset{⏞}{(\nabla \cdot А)}} - \nabla^{2} А знак равно - \nabla^{2} А \end{matrix}$ $\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla} \overbrace{(\nabla\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}^{=0}-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\nabla^{2}\mathbf{A} \tag{02}$
Я думаю, что Био-Саварат более фундаментален, чем уравнения Максвелла. Я думаю, что нужно было сделать обратный процесс!
@AHB ваше замечание неверно. Уравнение Максвелла является основой электродинамики. Они фундаментальны в том смысле, что из них может быть выведена вся электродинамика (вместе с законом силы Лоренца). Нет ничего "фундаментальнее" их
@tomph Я имею в виду, что закон выводится до вывода уравнений Максвелла. В учебниках говорят о законе bs, прежде чем вводят уравнения Максвелла.
@AHB: Ни один из законов не является производным, или, если хотите, они оба могут быть производными друг от друга. Но вы не можете начать учебник, выводящий закон Био-Савара; это экспериментальный результат.
@tomph, формулу силы Лоренца нельзя вывести из уравнений Максвелла.
@ JánLalinský Да, на самом деле я сказал, что «вся электродинамика может быть получена из [ME] ( вместе с законом силы Лоренца )», что означает, что вам нужны все 4 ME и LFL для получения электродинамики.
@tomph, спасибо за разъяснение. Я не носитель языка, я неправильно понял ваш пост.
Привет @Tomph! Если вы понимаете, о чем я. Закон силы Лоренца приводит к закону Био-Саварата. Затем мы приходим к уравнениям Максвелла. Дело в последовательности. Никто не начинает с уравнений Максвелла, чтобы найти более фундаментальные законы. Ах.

Фротаур · Answer 1

Насколько я помню, формула, которую вы получили, верна. Вы можете заставить этот «проблемный» интеграл исчезнуть, используя следующее тождество, которое мы будем называть «теоремой о завитке»:

\int \vec{\nabla} \times \vec{ж} д В знак равно - \int \vec{ж} \times д \vec{С}

$\int\vec{\nabla}\times\vec{w}dV = -\int\vec{w}\times d\vec{S}$

Чтобы показать, что это так, мы собираемся использовать дивергенцию или теорему Грина-Остроградского, а именно

\int \vec{\nabla} \cdot \vec{в} д В знак равно \int \vec{в} \cdot д \vec{С}

$\int\vec{\nabla}\cdot \vec{v}dV = \int \vec{v}\cdot d\vec{S}$

Поскольку теорема о дивергенции — это скалярное тождество, а теорема о роторе — это векторное тождество, нам понадобятся три различных векторных поля, которые мы будем обозначать $\vec{v}_i$ . Теперь мы хотели бы $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$ вывести тождество на завиток. Записав это в тензорной нотации:

\partial^{к} (в_{я})_{к} знак равно ϵ_{я к л} \partial^{к} ж^{л}

$\partial^k(v_i)_k=\epsilon_{ikl}\partial^k w^l$

Как видим, достаточно взять $(\vec{v}_i)_k = \epsilon_{ikl}w^l$ и отношения будут удовлетворены. Итак, для такого векторного поля имеем $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$ .

Применение теоремы о расходимости к $\vec{v}_i$ :

\int (\vec{\nabla} \times \vec{ж})_{я} д В знак равно \int \vec{\nabla} \cdot {\vec{в}}_{я} д В знак равно \int \vec{в_{я}} \cdot д \vec{С} знак равно \int (в_{я})_{к} (д \vec{С})^{к} знак равно \int ϵ_{я к л} ж^{л} (д \vec{С})^{к} знак равно - \int (\vec{ж} \times д \vec{С})_{я}

$\int(\vec{\nabla}\times\vec{w})_idV = \int\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_idV = \int\vec{v_i}\cdot d\vec{S} = \int (v_i)_k(d\vec{S})^k = \int\epsilon_{ikl}w^l(d\vec{S})^k = -\int(\vec{w}\times d\vec{S})_i$

Таким образом, давая доказательство «теоремы о завитке». Используя его на вашем проблемном интеграле:

- \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int \nabla^{'} \times (\frac{Дж ({Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |}) д^{3} {Икс}^{'} знак равно - \frac{{мю}_{0}}{4 π} \int (\frac{Дж ({Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |}) \times д {\vec{С}}^{'}

$-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}' = -\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,\times d\vec{S}'$

Теперь интеграл по объему выполняется по всему пространству, и при условии, что вы предполагаете, что $\lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{\vec{J}(x')}{|x-x'|} = 0$ , это дает вклад 0. Почему это не добавляет никаких сумасшедших предположений?

Чтобы этот предел был отличен от нуля, необходимо, чтобы $|J(x)|$ стремится к бесконечности. Действительно, предположим $J(x)$ конечно. Тогда есть постоянная $C$ такой, что $|J(x)|<C$ . Затем, $lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{|J(x')|}{|x-x'|}<\lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{C}{|x-x'|} = 0$ . Таким образом, если бы мы хотели, чтобы этот «дополнительный» интеграл не обращался в нуль, нам потребовалась бы бесконечная плотность тока на бесконечности, что кажется не таким уж физическим.

Конечно, все мои выводы были сделаны в контексте корректных функций. Это не сработает, скажем, для бесконечно малого провода, так как плотность тока становится распределением (используя дельта Дирака). $\delta(x)$ ). Я недостаточно квалифицирован, чтобы строго разобраться в этом случае, но я надеюсь, что приведенное выше объяснение дает представление о том, почему разумно устанавливать этот интеграл равным 0.

Спасибо за подробное объяснение. Я пробовал что-то подобное ранее, но нашел требование, что $\mathbf{J}(\mathbf{x}')\rightarrow 0$ на бесконечности немного подозрительно. Бесконечный провод или соленоид, очевидно, могут создавать физически значимое магнитное поле. Конечно, если мы не заботимся о поле на бесконечности, $1/|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$ все равно упадет до нуля, так что это не проблема. Тем не менее, это своего рода осложнение, которого я не ожидал.
Да, это то, что я имел в виду под «более свободными условиями». Мне кажется, это тоже довольно сдерживающее условие, но, может быть (я не вникал в него, если честно), если вы требуете, чтобы ваше магнитное поле было конечным (что, я думаю, здравое предположение), то это наложит некоторые условия вида $J(x)$ . Учитывая эти условия, может быть, у нас есть это $\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\rightarrow 0$ обязательно. Действительно, чтобы этот термин не исчез, $J(x)$ не может быть конечным при $|x|\rightarrow \infty$ . Это подразумевает бесконечный ток, который кажется нефизическим. Я отредактирую.
Ваше редактирование имеет смысл. Меня все еще немного беспокоит поведение границ, так как одновременный предел, поскольку оба $\mathbf{x}$ а также $\mathbf{x}'$ уйти в бесконечность потенциально неопределенно.
Это не должно быть проблемой, учтите следующее: лимиты не берутся "одновременно". Действительно, вы сначала выбираете точку пространства $x$ в котором вы хотите оценить магнитное поле. В этом расчете необходимо принять $x'$ собираюсь $\infty$ в граничном интеграле, а $x$ остается конечным. Так что проблем быть не должно. Теперь, если вы хотите определить $B(x)$ за $|x|$ уходя в бесконечность, вы должны вычислить B как функцию КОНЕЧНОГО x, а ЗАТЕМ взять $x\rightarrow\infty$ . Итак, если хотите, $x'$ «предел» всегда принимается за конечное $x$ , даже для сколь угодно больших $x$ .

Хавьер · Answer 2

Первое наблюдение состоит в том, что это не относится к магнетизму. То же самое произойдет, если вы попытаетесь найти закон Кулона для электрического поля; вы получаете такой термин, как

\int \nabla^{'} \frac{р ({Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |} д^{3} {Икс}^{'}

$\int \nabla' \frac{\rho(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\ d^3 \mathbf{x}'$

который должен быть равен нулю. Ну, здесь нет никаких причудливых тождеств векторного исчисления, просто старая добрая фундаментальная теорема исчисления. Чтобы убедиться в этом, давайте посмотрим на вашу версию. Интеграл представляет собой вектор, и каждый компонент имеет два члена из-за завихрения. Давайте сосредоточимся на первом члене первой компоненты:

\int \partial_{2}^{'} (\frac{{Дж}_{3} ({Икс}^{'})}{| Икс - {Икс}^{'} |}) д^{3} {Икс}^{'}

$\int \partial'_2 \left( \frac{J_3(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|} \right)\ d^3\mathbf{x}'$

По теореме Фубини (при условии, что функции ведут себя достаточно хорошо) мы можем интегрировать три переменные в любом порядке. $x_2'$ интегрирование тривиально, потому что подынтегральная функция является полной производной, поэтому результатом является только то, что находится внутри круглых скобок, оцененное в $x_2' = \pm \infty$ , который мы обычно принимаем равным нулю. Следовательно, этот термин исчезает, как и все остальные, потому что они по существу одинаковы.

Вывод закона Био-Савара из уравнений Максвелла

ДжОстин

Фробениус

АХБ

томф

АХБ

Хавьер

Ян Лалински

томф

Ян Лалински

АХБ

Ответы (2)

Фротаур

ДжОстин

Фротаур

ДжОстин

Фротаур

Хавьер

Что такое замкнутый ток?

Нахождение векторного потенциала бесконечного цилиндра с однородным поверхностным током

Магнитное поле в двух проводящих параллельных пластинах. (полоска) [закрыто]

Вывод закона Ампера из Био-Савара

Почему эти расчеты электромагнитных полей для магнита и проволочной петли кажутся противоречивыми?

Как найти магнитное поле как функцию rrr от оси соленоида?

Текущая геометрия и закон Ампера

Нахождение векторного потенциала вращающейся сферической оболочки с однородным поверхностным зарядом?

Как классически связаны сила Лоренца, третий закон Максвелла и закон индукции Фарадея?

ЭДС в одиночном движущемся проводе в магнитном поле