Что заставило Бора квантовать угловой момент, а не какую-то другую величину?

Бор постулировал, что электроны вращаются вокруг ядра на дискретных энергетических уровнях, и электроны могут приобретать и терять энергию, прыгая между энергетическими уровнями, испуская излучение частоты$\nu$в соответствии с формулой

куда$\nu = \frac{1}{T}$, куда$T$период обращения, как в классической механике.

Теперь во время перехода пусть$r$быть средним радиусом и$v$- средняя скорость частицы. Такое упрощение позволяет вычислить период обращения:

Следовательно,

Кроме того, мы знаем, что кинетическая энергия на определенном энергетическом уровне определяется выражением

Опять же, принимая$r$а также$v$- средний радиус и скорость при переходе, получаем

Приравнивание$(1)$а также$(2)$дает

Следовательно,

Следовательно, каждый энергетический уровень отличается от следующего угловым моментом$\hbar$. Поэтому разумно постулировать, что если самый низкий энергетический уровень не имеет углового момента, то каждый энергетический уровень с этого момента имеет угловой момент$n\hbar$куда$n$является целым числом.

Ниже представлен современный метод де Бройля:

Из определения углового момента

$L = rp$, где L — угловой момент, r — радиус орбиты, а p — импульс.

Мы также знаем, что импульс связан с длиной волны частицы из соотношения де Бройля:

Сочетание этих дает

Хорошо, теперь давайте рассмотрим электрон, вращающийся вокруг ядра.

Окружность орбиты$2\pi r$, и поскольку мы хотим, чтобы электрон формировал орбиту стоячей волны, мы требуем, чтобы$\frac{2\pi r}{\lambda}$быть целым числом, чтобы волна не интерферировала сама с собой. То есть,

куда$n$некоторое целое число. Теперь мы можем заменить наше определение$L$сверху в это уравнение, чтобы дать:

и перестановка дает,

Следовательно, квантование углового момента позволяет электронной волне не мешать самой себе во время движения по орбите.

Как заметил Дмки, угловой момент почти не упоминается в революционной статье Бора 1913 года «О строении атомов и молекул» (Philos. Mag. 26, 1).

Вместо этого Бор основывает свой аргумент на гипотезе Планка о том, что излучение квантового гармонического осциллятора «происходит в виде четко разделенных излучений, количества энергии, излучаемого атомным вибратором частоты».$\nu_o$"в одном излучении, равном"$nh \nu_o$, с$n$целое число и$h$постоянная Планка. (Я изменил некоторые обозначения Бора, чтобы они соответствовали современному использованию.)

Теперь гармонический осциллятор имеет одинаковую частоту независимо от его энергии, но не атом водорода.

После расчета соотношения между частотой$\nu_c$и энергия ионизации$W$для классической замкнутой орбиты большой полуоси$a$, обвинение$e$и масса электрона$m$:

Бор предлагает два подхода:

1. Рассмотрим электрон, начинающийся в покое, вдали от атома, и заканчивающийся на устойчивой замкнутой орбите (само по себе смелое утверждение, поскольку в классическом понимании таких орбит не существует). Поскольку начальная «частота» равна 0, Бор разделяет разницу и постулирует, что частота излучаемого излучения$\nu_r$составляет половину частоты конечной орбиты$\nu_c$. Параметр$W=h \nu_c/2$(излученная энергия), Бор выводит явные выражения для характеристик конечной орбиты.
2. В качестве альтернативы Бор рассматривает переходы между двумя почти классическими орбитами очень низкой частоты, где начальная и конечная частоты орбит почти идентичны. Эта ситуация очень похожа на гармонический осциллятор, поэтому гипотезу Планка можно применить напрямую: частота излучения равна частоте орбиты. Результаты согласуются с первым подходом.

Только тогда Бор замечает: «Хотя, очевидно, не может быть и речи о механической основе расчетов, приведенных в этой статье, тем не менее можно дать очень простую интерпретацию результата», а именно: устойчивые круговые орбиты квантуются угловой момент$L=n \hbar$.

К 1918 году в «Квантовой теории линейчатых спектров» Бор применил технику адиабатических инвариантов , чтобы продемонстрировать, что действие$I$атома водорода квантуется точно так же, как гармонический осциллятор:$I=nh$. Он отмечает, что «это условие эквивалентно простому условию, что угловой момент частицы вокруг центра поля равен целому кратному$h/(2 \pi)$.

Я думаю, что "multiplum" = "несколько".

Потребовалось некоторое время, чтобы оценить фундаментальную природу квантованного углового момента.

Угловой момент является сохраняющейся величиной (в замкнутой системе), и это верно также для углового момента, переносимого электромагнитным (ЭМ) полем. Это сохранение является проявлением вращательной симметрии, и азимутальная часть излучаемого ЭМ поля должна быть однозначной. Другими словами, при вращении ЭМ поля по азимуту ($\phi$) направление (перпендикулярно$z$направление) целое число$n$из$2\pi$(360 градусов) он должен иметь то же значение, что и до поворота. Эта необходимая однозначность после поворота$2n\pi$может быть реализовано только в том случае, если угловой момент достигает только целых значений$n$, т.е. если угловой момент квантован (на классическом уровне!).

Это ответ на вопрос, почему в классическом понимании угловой момент связан с константой n.

Это показывает, что r должно быть умножено на$n^2$и v должно быть разделено на n.

Это означает, что L может иметь n в качестве переменной, если нам известна масса. Так$L=mr_0v_0n$куда$r_0$а также$v_0$когда n=1. Но почему n должно быть целым числом, он не говорит. У нас есть, что n=1 может быть произвольным, поэтому его можно установить равным n=1, когда мы находимся на радиусе Бора.