Оценка матричных элементов атома водорода

Рассмотрим оператор

$$\mathcal{P}=L_y L_z$$ и состояния атома водорода $\left|n,l,m\right\rangle$. Оценить соотношение $$\mathcal{R}=\frac{\left\langle3,1,-1|\mathcal{P}|3,1,0\right\rangle}{\left\langle3,1,0|\mathcal{P}|3,1,1\right\rangle}.$$

Во-первых, я отметил, что$\mathcal{P}\neq\mathcal{P}^\dagger$, поэтому я поставил

$$\mathcal{P}_\mathrm{sym}\equiv\frac{1}{2}\left\{L_y,L_z\right\},$$ так как это наблюдаемая величина. Потом я написал $\mathcal{P}_\mathrm{sym}$в терминах сферических тензоров $L^{(k)}_q$ранга $k$(с $2k+1$компоненты), получение $$\mathcal{P}_\mathrm{sym}=\frac{i}{2}\left(L^{(2)}_1 + L^{(2)}_{-1}\right).$$ Теперь, используя теорему Вигнера-Экарта, я получил $$\mathcal{R}_{\mathrm{sym}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}\left\langle3,1||L^{(2)}||3,1\right\rangle}{\sqrt{\frac{3}{10}}\left\langle3,1||L^{(2)}||3,1\right\rangle}=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Но, используя прямой метод, я также получил (т.к.$n=3$фиксированный)

$$\mathcal{R}_{\mathrm{sym}}=\frac{\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&-1&\\1&&1\\&-1&\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&-1&\\1&&1\\&-1&\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=-1.$$ Где я ошибаюсь?