Коррекция тонкой структуры

Самый простой способ увидеть это$p^4$сферически симметричен, это рассматривать его в импульсном пространстве. Если вы подаете заявку$p^4$к собственному состоянию импульса$|p\rangle$результат явно зависит только от величины вектора импульса состояния, а не от его ориентации, поэтому, если$R$есть оператор вращения

$$\begin{equation} p^4 R|p\rangle = Rp^4|p\rangle \end{equation}$$ Поскольку собственные состояния импульса образуют базис, мы можем распространить этот результат на общее состояние по линейности, поэтому мы имеем $p^4R = Rp^4$, другими словами $H_r^\prime$является сферически симметричным.

Операторы углового момента определяются как генераторы вращения, поэтому, если$R_z(\delta\theta)$представляет собой бесконечно малое вращение вокруг$z$ось,$L_z$дан кем-то

$$\begin{equation} R_z(\delta\theta) = 1 -\imath\delta\theta L_z + O(\delta\theta^2)\end{equation}$$ Если у нас есть сферически симметричный оператор, $Q$, затем $[R,Q] = 0$для всех вращений $R$. В частности $$\begin{align*} 0 & = [R_z(\delta\theta),Q]\\ & = [1- \imath\delta\theta L_z, Q]\\ \Rightarrow 0 &= [L_z, Q]\end{align*}$$

Когда мы занимаемся вырожденной теорией возмущений, проблема, по существу, состоит в том, чтобы найти базис, в котором гамильтониан возмущения$H_r^\prime$является диагональным. Мы можем сделать это по старинке, найдя собственные векторы, но это долго и скучно. Хитрость, чтобы обойти это, состоит в том, чтобы найти какого-нибудь оператора,$S$, мы уже понимаем, что коммутирует с возмущением. С$H_r^\prime$и$S$коммутируют, они имеют базис взаимных собственных векторов, поэтому, если мы используем этот базис$H_r^\prime$уже будет диагональ, и мы сэкономим много работы.