Спин-орбитальная связь, вырождение собственных значений

Это в основном проблема рекурсивного подсчета. Начнем с несвязанного базисного состояния, т.е. множества состояний вида$\vert \ell m_\ell \rangle \vert s m_s\rangle$. Есть явно$(2\ell+1)(2s+1)$из них, и задача состоит в том, чтобы реорганизовать их.

Результат подсчета ключей основан на наблюдении, что$\vert \ell m_\ell\rangle\vert sm_s\rangle$является собственным состоянием$\hat J_z=\hat L_z+\hat S_z$с собственным значением$M=m_\ell+m_s$. Имея это в виду, организуйте$\vert \ell m_\ell\rangle\vert sm_s\rangle$состояний так, что те, у которых одинаковое значение$M$находятся на одной линии. Явно, например, вы бы

$$\begin{align} \begin{array}{rlll} M=\ell+s:&\vert \ell \ell\rangle\vert s s\rangle \\ M=\ell+s-1:& \vert \ell,\ell-1\rangle\vert ss\rangle& \vert\ell\ell\rangle \vert s,s-1\rangle\\ M=\ell+s-2:&\vert \ell,\ell-2\rangle \vert ss\rangle & \vert\ell,\ell-1\rangle\vert s,s-1\rangle&\vert \ell \ell\rangle \vert s,s-2\rangle\\ \vdots\qquad& \qquad\vdots \end{array} \end{align}$$ и заменить каждое состояние на $\bullet$получить $$\begin{array}{rlll} \ell+s:&\bullet \\ \ell+s-1:&\bullet & \bullet\\ \ell+s-2:&\bullet&\bullet&\bullet\\ \vdots\qquad&\vdots \end{array}$$ Сейчас если $M=\ell+s$является наибольшим значением и встречается один раз, значение $j=\ell+s$должно произойти один раз, а также все состояния $\vert j=\ell+s,m_j\rangle$произойдет один раз. Существует линейная комбинация двух состояний с $M=\ell+s-1$это будет государство $\vert j=\ell+s,m_j=\ell+s-1\rangle$, будет линейная комбинация трех состояний с $M=\ell+s-2$это будет $\vert j=\ell+s,m_j=\ell+s-2\rangle$состояние и т. д. Поскольку нас интересует только перечисление возможных результирующих значений $j$, и не интересуясь фактическими состояниями как таковыми, мы можем удалить из нашей таблицы первый столбец, так как он содержит одно состояние с $m_j=\ell+s$, один с $m_j=\ell+s-1$и т. д. Удаление этого столбца дает сокращенную таблицу $$\begin{array}{rll} \ell+s-1: & \bullet\\ \ell+s-2:&\bullet&\bullet\\ \vdots\qquad&\vdots \end{array}$$ Поскольку значение $m_j=\ell+s-1$встречается один раз, значение $j=\ell+s-1$должно произойти один раз, и состояния $\vert \ell+s-1,m_j\rangle$каждое произойдет один раз. Мы убираем их из списка, удаляя первый столбец, чтобы получить еще более сокращенную таблицу. $$\begin{array}{rl} \ell+s-2:&\bullet\\ \vdots\qquad &\vdots \end{array}$$ Так продолжается процесс до истощения. В приведенных выше примерах мы нашли $j=\ell+s,\ell+s-1$и окончательная сокращенная таблица примера, если она не пуста, будет указывать значение $j=\ell+s-1$. Ясно, что этот процесс производит убывающую последовательность $j$. Последнее значение $j$определяется шириной исходной таблицы. Нетрудно убедиться, что ширина таблицы перестанет увеличиваться, как только мы достигнем $M=\vert \ell-s\vert$, и это последнее значение $j$. Таким образом, путем исчерпания вы найдете возможные значения $j$В диапазоне $$\vert \ell-s\vert\le j\le \ell+s\, .$$

В качестве примера рассмотрим$\ell=1$и$s=2$. Тогда исходная таблица выглядит так

$$\begin{array}{rlll} \frac{3}{2}:&\vert 11\rangle\vert 1/2,1/2\rangle \\ \frac{1}{2}:&\vert 10\rangle\vert 1/2,1/2\rangle & \vert 11\rangle\vert 1/2,-1/2\rangle\\ -\frac{1}{2}:&\vert 1,-1\rangle\vert 1/2,1/2\rangle&\vert 10\rangle\vert 1/2,-1/2\rangle\\ -\frac{3}{2}:&\vert 1,-1\rangle \vert 1/2,-1/2\rangle \end{array}\qquad \to \qquad \begin{array}{rlll} \frac{3}{2}:&\bullet \\ \frac{1}{2}:&\bullet & \bullet \\ -\frac{1}{2}:&\bullet &\bullet \\ -\frac{3}{2}:&\bullet \end{array}$$ Это только $2$ширина столбца, а ширина перестает расти на $M=1/2$, указывая на возможную $j$в этом случае $3/2$и $1/2$, и действительно $$\vert 1-1/2\vert \le j\le 1+1/2$$ Наконец, обратите внимание, что абсолютное значение требуется слева, потому что можно записать состояние $\vert sm_s\rangle\vert \ell m_\ell\rangle$не влияя на возможные значения $j$.