Состояние с ненулевым угловым моментом - не может быть описано сферической гармоникой?

Это связано с тем, что каждое сферически инвариантное состояние$\psi$должен иметь нулевой угловой момент.

Действительно, по предположениям, состояние$\psi$проверяет

$$\psi(R_{\vec n}(\theta)\vec{x} ) = (e^{i \theta \vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}} \psi)(\vec{x}) = \psi(\vec{x})\tag{1}$$ где$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}$является самосопряженным генератором вращений$R_{\vec n}(\theta)$вокруг$\vec{n}$, т.е. это угловой момент вдоль$\vec{n}$. Принимая$\theta$производная от (1) для$\theta=0$у нас есть $$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}} \psi =0$$ в частности, для$k=x,y,z$, $$\hat{J}_k \psi=0\:,$$ так что $$\hat{J}^2 \psi = \hat{J}^2_x\psi + \hat{J}^2\psi + \hat{J}_z^2=0\:.$$

ПРИЛОЖЕНИЕ . Фактически состояние представляется нормированным вектором с точностью до фазы . Таким образом, сферически-симметричное состояние представляется вектором, удовлетворяющим версии (1), более слабой, чем представленная выше:

$$\psi(R_{\vec n}(\theta)\vec{x} ) = (e^{i \theta \vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}} \psi)(\vec{x}) = \chi(\theta, \vec{n})\psi(\vec{x})\tag{2}$$ где$|\chi(\theta, \vec{n})|=1$. Принимая$\theta$производная для$\theta=1$мы нашли $$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}} \psi = \alpha(\vec{n}) \psi$$ где собственное значение $$\alpha(\vec{n}) = \frac{d\chi(\theta, \vec{n})}{d\theta}|_{\theta=0}$$ которое является действительным числом, как легко следует из$|\chi(\theta, \vec{n})|=1$. Общие собственные векторы$\psi \neq 0$из$\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z$имеют общее собственное значение$0$как это может быть доказано непосредственным рассмотрением (или с помощью какого-либо прямого теоретического рассуждения, использующего коммутационные соотношения$[\hat{J}_x,\hat{J}_y]= i\hat{J}_z$). Делаем вывод, что этот более полный путь приводит к тому же результату, что и раньше.