Computronium, замедление времени и предел Бремермана

Предположим, что это шар из компутрониума с постоянной плотностью.$\rho$и радиус$R$, где общее количество вычислений в секунду, если мы игнорируем гравитацию, пропорционально общей массе,$C\propto M$.

Простой способ расчета оценки состоит в том, чтобы предположить, что все находится в одном и том же гравитационном потенциале. Это неправильно, так как внутренние части тяжелой сферы будут испытывать большее замедление времени; Вот почему ядро ​​Земли на несколько лет моложе поверхности . Тем не менее, в качестве первого приближения мы можем использовать формулу гравитационного замедления времени

$$\omega(r)=\omega_0 \sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}$$ где $\omega_0$скорость времени на бесконечности и $r$расположение часов. Если мы просто используем поверхностную скорость, общее количество вычислений за тик, как видно из бесконечности, будет $\propto \omega(R)M = \omega_0 \sqrt{M^2-\frac{2GM^3}{c^2R}}$и если мы подключим $M=4\pi\rho R^3/3$(это снова немного не так, так как объем на радиусе $R$в искривленном пространстве-времени не то же самое, что в плоском пространстве) мы получаем $$\omega_0 \sqrt{(4\pi/3)^2 R^6\rho^2-\left(\frac{16G \pi^3}{27c^2}\right ) R^8\rho^3}$$ Это выражение имеет максимум для данного $R$или $\rho$. В частности, для постоянного размера это $\rho=2c^2/ G\pi R^2$или для $R=1$м $\approx 8.5729\times 10^{26}$кг/м $^3$(если я правильно сделал алгебру). Не слишком далеко от приблизительной оценки в исходном вопросе. К этому можно также прийти с помощью размерного анализа. Обратите внимание, однако, что это значение зависит от $R$: в этом нет ничего принципиального, так как если вы хотите большее или меньшее значение, вы можете просто выбрать другое $R$.

Теперь мы можем сделать то же самое более подробно, фактически тщательно интегрируя вычислительные вклады различных слоев: (1) используя формулу замедления времени и интегралы по объему, которые учитывают фактические объемы, или (2) выполняя жесткое интегрирование для внутреннее решение с постоянной плотностью . Это может быть хороший вечерний проект, но качественно ясно, что будет максимальная плотность или радиус вычислительной мощности компьютрониума. Сначала он должен увеличиваться как$\propto R^3$но в конечном итоге начнем выравниваться и уменьшаться до нуля по мере приближения к черной дыре или пределу Бухдаля.

Я не думаю, что это такой же фундаментальный предел, как и другие перечисленные, но он соответствует оптимальной кривой в$(R,\rho)$пространство, которое предположительно соответствует другим ограничениям в интересных точках.