Как создать прочную основу для университетской математики?

Моя цель: в следующем году изучать чистую математику в университете. Я нахожу абстрактную алгебру, теорию чисел и основы математики (теория множеств, FOL и т. д.) интригующими, но по большей части недоступными с моей нынешней математической зрелостью, но я хотел бы узнать о них больше в будущем. Я хочу убедиться, что когда это время придет, я смогу усвоить большую часть материала, не увязнув в нем. В конечном счете, я хотел бы внести значимый вклад в область чистой математики :)

Моя предыстория: я недавно закончил среднюю школу, изучая исчисление с одной переменной (исчисление 1), некоторые матрицы-детерминанты (в основном вычислительные задачи) и некоторые элементарные понятия о множествах, отношениях, функциях, комбинаторике, основах векторной алгебры и дискретной вероятности.

Так получилось, что у меня есть год свободного времени, и я могу постоянно посвящать учебе несколько часов. Тем не менее, я пытался изучать различные темы в течение некоторого времени, но неорганизованное обучение заставляет меня терять след своего прогресса. Я хочу использовать предстоящее время с пользой, чтобы лучше понять, что такое математика , а также заложить прочный фундамент. Я попытался составить общий план того, как я мог бы учиться за это время, разделив его на 3 направления :

Трек 1. Продолжение школьной математики. Продолжая исчисление 1, я мог бы погрузиться в исчисление 2 и 3; аналогичным образом расширил свои знания о матрицах-детерминантах на базовую линейную алгебру. Занимаясь этим, я мог бы уделить больше внимания доказательству и пониманию результатов, а не просто механическим вычислениям.

Трек 2 — Подготовка к олимпиадам по математике в старших классах: это не означает, что я буду записываться на любую олимпиаду; скорее, я бы освещал математику, которая обычно не преподается в школе, но представляет собой вопросы на математических олимпиадах, ориентированных на старшеклассников. Я постараюсь осветить такие темы, как элементарная теория чисел, евклидова геометрия, функциональные уравнения, неравенства, теория уравнений, комбинаторика и вероятность и т. д.

Трек 3-Начните погружаться в математику бакалавриата: в связи с сложившимися в настоящее время обстоятельствами существует множество онлайн-ресурсов для обучения для всех уровней учащихся. МООК по высшей математике не являются исключением. Таким образом, я мог бы начать изучать базовый реальный анализ, вводную линейную и абстрактную алгебру, теорию множеств и логику. Мне нравится что-то доказывать, но я не могу понять, как отточить этот навык.

У меня есть достаточные учебные ресурсы (множество учебников по математике, таких как «Анализ 1 и 2» Т. Тао, «Современная абстрактная алгебра» Галлиана, «Обыкновенные дифференциальные уравнения» М. Тененбаума и многие другие — я бы не стал уклоняться от покупать больше учебников по разумной цене, которые необходимы для достижения моей цели). Однако вот что меня смущает:

1) Какой из вышеупомянутых треков лучше всего подходит для достижения моей цели? Я, конечно, не рассчитываю стать мастером на все руки в течение года, но я хочу твердо стоять на ногах в последующие годы своего математического образования. Подробные предложения о любом другом треке также приветствуются.

2) В отсутствие инструктора, как я могу оценивать и контролировать свой прогресс в установленные сроки? Конечно, ничто не заменит настоящего изучения математики в университете, но что хотя бы я могу сделать для оценки своей работы? Я хочу быть уверенным, что не застряну на середине, не знаю, куда я иду со своей учебой.

Мои предпочтения в этих треках следующие:$3>2>1$. Я в восторге от перспективы изучения высшей математики (в старших классах я изучил базовую теорию групп), но в конце концов сдался, потому что, хотя раньше я готовил одно доказательство за 40-50 минут, я не мог конечно, если это было правильно вообще в конце. Кроме того, темы на более высоких уровнях взаимосвязаны и, следовательно, требуют некоторых знаний/предварительных условий (одной из причин, по которой я перестал изучать теорию групп, было мое отсутствие опыта в модульной арифметике) наряду с математической зрелостью, которая иногда становится препятствием для обучения. Тем не менее, я приветствую любые предложения, исходящие от сообщества студентов, преподавателей и профессионалов математики. Примечание:Я уже проверил несколько вопросов, заданных по связанным темам на MSE и в других местах, но не смог разумно относиться ни к одному из них.