Квантовая теория поля в пространстве-времени с различными топологиями

Предположим, я хочу вычислить амплитуды рассеяния в квантовой теории поля со следующим действием:

С знак равно С м а т т е р + С т о п о л о грамм я с а л .

Здесь я задействовал материю (без гравитационных взаимодействий) и некоторые возможности топологий пространства-времени. После некоторого поиска в Интернете я обнаружил, что в зависимости от пространственно-временной структуры могут быть добавлены три топологических термина:

  • Термин Понтрягина
  • Термин Эйлера
  • Термин Ние-Яна

Первый вопрос: если я хочу включить эти термины, должен ли я включать гравитационный член (действие Эйнштейна-Гильберта) или я могу построить квантовую теорию поля только с этими топологическими терминами?

Вычисление статистической суммы

Z знак равно ∑ т о п о л о грамм я е с ∫ Д [ ф ] е я С

с материальными полями ф приводит к конечным результатам; квантование гравитации еще неизвестно из-за неперенормируемости. В теории струн сумма по топологиям известна как расширение рода; Могу ли я сделать подобное расширение по топологиям для 4-мерного пространства-времени? Могу ли я предположить плоское пространство-время, но другую топологию и другое распределение границ пространства-времени в квантовой теории поля, и если да, то как именно будет выглядеть статистическая сумма?

Я мог бы также провести КТП в классически искривленном пространстве-времени, но квантование полей становится более сложным; поэтому: метрика Минковского на регионах Ом где можно определить квантовые поля.

Если у меня есть действие с границами, т.е. С м а т т е р знак равно ∫ Ом г 4 Икс л м а т т е р и я делаю расширение режима в к -место для полей ф тогда возникнут не просто дельта-распределения по закону сохранения энергии-импульса (это дельта ( к я н с о м я н грамм мю − к о ты т с о м я н грамм мю ) ), вместо этого будет происходить с я н с ( к я н с о м я н грамм мю − к о ты т с о м я н грамм мю ) если есть некоторая граница пространства-времени. Это означает, что будут существовать амплитуды, в которых энергия и импульс не сохраняются, и из-за симметрии функции sinc с аргументом прирост энергии имеет ту же вероятность, что и потеря энергии; таким образом, энергия все еще сохраняется в среднем. Принимая предел ℏ ↦ 0 , sinc-функция превращается в дельта-функцию; это означает, что эти избытки энергии и импульса являются квантовыми эффектами.

Последний вопрос: что увидит наблюдатель, если пространство-время имеет где-то одну или несколько границ? Увидит ли наблюдатель, что вблизи этих границ на какое-то время выскочат пары частица-античастица?

Моя основная идея состоит в том, что гравитационными членами можно пренебречь, но можно соблюдать топологические члены, так что можно получить разложение для амплитуды рассеяния

А знак равно А м а т т е р , п о н т р у а грамм я н знак равно 0 + грамм 1 А м а т т е р , п о н т р у а грамм я н знак равно 1 + грамм 2 А м а т т е р , п о н т р у а грамм я н знак равно 2 + …

со связью с членом Понтрягина грамм и где первый член в разложении относится к пространству-времени без границ (энергия-импульс строго сохраняется в этом вкладе). Резюмирую вопросы:

  • Можно ли пренебречь гравитацией (зависимость от геометрии пространства-времени); Я предполагаю, что величина тензора энергии-импульса системы достаточно мала и что внешние гравитационные поля отсутствуют?
  • Как мне определить правдоподобную функцию распределения, если я хочу выполнить «сумму по (плоским) топологиям пространства-времени»?
  • Что кто-то мог бы наблюдать на границах пространства-времени?

Подсказки будут очень признательны!

Мне непонятно, чего вы пытаетесь добиться. Термины, которые вы должны сохранить в действии, зависят от того, что вы хотите, чтобы это действие описывало. Кроме того, это, вероятно, слишком широко. Я предлагаю взглянуть на модели spinfoam для примеров четко определенной УФ-конечной статистической суммы для различных топологий.
Я пытаюсь выполнить статистическую сумму, которая не нуждается в гравитации и не требует квантования гравитации; просто функция, которая вычисляет амплитуды рассеяния для материи, но в разных топологиях
вы можете выбрать топологию, где гравитация не имеет значения, но вы не можете сделать такую ​​функцию для общего случая, потому что я всегда могу выбрать топологию, в которой гравитация имеет значение
Будет ли более высокой вероятность рождения частицей пары частица-античастица в пространстве-времени с границами, чем в пространстве-времени без границ (вместо дельта-функции баланса энергии-импульса возникнет sinc-функция на балансе энергии-импульса)?

Ответы (1)

Ответ на первый вопрос: Это зависит от энергии и масштаба длины. Если плотность энергии системы достаточно мала, я могу пренебречь гравитационными вкладами. Формулируя уравнения поля Эйнштейна в безразмерных параметрах (обозначаемых тильдой), выполняется:

1 л 2 ( р мю ν ~ − 1 2 р ~ грамм мю ν ) знак равно − 8 π грамм М с 2 л 3 с 4 Т мю ν ~ .

Здесь, л - характерный масштаб длины и М характерный масштаб массы. Можно заметить, что гравитационные источники пропорциональны грамм М л с 2 ; таким образом, для малых масс и больших длин гравитацией можно пренебречь.

Ответ на все остальные вопросы: все действие локально инвариантно к диффеоморфизму и не зависит от перемещений. ты мю (генератор диффеоморфизмов) пространства-времени. Однако мы будем вычислять интегралы по траекториям вида

Z знак равно ∫ Д [ ты мю ] дельта грамм а ты грамм е − ф я Икс ( ты мю ) ∫ Д [ ф ] е я С

которое в общем случае может содержать сумму по непрерывным функциям ты мю ( Икс ) (не диффеоморфизм, он меняет топологию пространственно-временного многообразия!). Это также означает, что мы должны разделить интеграл по смещению на различные топологии и на ИСТИННЫЕ диффеоморфизмы; следовательно:

Z знак равно ∑ Т о п о л о грамм я е с ∫ Д [ ты мю ] | г я ф ф е о м о р п час я с дельта грамм а ты грамм е − ф я Икс ( ты мю ) ∫ Д [ ф ] е я С м а т т е р + я С т о п .

Теперь возможна оценка интеграла пути по смещениям, что может привести к коэффициенту фиксации датчика. е я С грамм а ты грамм е зависит от призрачных полей ξ . Фактор е я С т о п зависит только от топологии. Этот термин даст число. Окончательно:

Z знак равно ∑ Т о п о л о грамм я е с е я С т о п | Т о п о л о грамм у ∫ Д [ ξ ] ∫ Д [ ф ] е я С м а т т е р + я С грамм а ты грамм е .

Имея дело с лагранжевыми плотностями, проинтегрированными по многообразиям с дырками, можно получить такие термины, как с я н с ( к я н − к о ты т ) вместо дельта-распределений после разложения по моде Фурье. Можно показать, что это также относится к члену дельта-распределения для ℏ ↦ 0 . Такой термин кодирует просто принцип неопределенности Гейзенберга.

Квантовая теория поля в пространстве-времени с различными топологиями
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v