Действительно ли действие свободной частицы минимально?

Question

Действительно ли действие свободной частицы минимально?

действие
Физика
классическая механика
вариационное исчисление
вариационный принцип
домашнее задание и упражнения

Алекс Гольдштейн

У меня на уроках механики задача: показать, что действие свободной нерелятивистской частицы
$\begin{matrix} (1) & С "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} \frac{м {\dot{Икс}}^{2}}{2} д т \end{matrix}$ $S=\int\limits_{t_i}^{t_f}\frac{m\dot{x}^2}{2}dt\tag{1}$ действительно наименьший (но не максимальный).

Что я делаю:

\begin{matrix} (2) & С "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} \frac{м {\dot{Икс}}^{2}}{2} д т "=" \frac{м В^{2}}{2} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т "=" \frac{м В^{2}}{2} (т_{ф} - т_{я}) . \end{matrix}

$S=\int\limits_{t_i}^{t_f}\frac{m\dot{x}^2}{2}dt=\frac{mV^2}{2}\int_{t_i}^{t_f}dt=\frac{mV^2}{2}(t_f-t_i).\tag{2}$ Затем

\dot{S} = \frac{m V^{2}}{2}

$\dot{S}=\frac{mV^2}{2}$ и

\ddot{S} = 0

$\ddot{S}=0$ . А для минимальности должно быть

> 0

$>0$ , но это просто ноль. Я смущен.

Qмеханик

Интересно, что в отличие от свободной частицы (о которой спрашивает ОП), гармонический осциллятор уже имеет стационарные пути, которые не являются локальными минимумами, ср. например, этот пост Phys.SE.

Ответы (1)

Действительно ли действие свободной частицы минимально?

Интересно, что в отличие от свободной частицы (о которой спрашивает ОП), гармонический осциллятор уже имеет стационарные пути, которые не являются локальными минимумами, ср. например, этот пост Phys.SE.

Qмеханик · Answer 1

Подсказки:

Вы должны показать, что для произвольных, но ФИКСИРОВАННЫХ значений $t_i$ , $t_f$ , $x(t_i)$ , $x(t_f)$ (с $t_i< t_f$ ), что функционал действия вне оболочки $S[x]$ для произвольного виртуального пути $t\mapsto x(t)$ больше, чем действие на оболочке $S[x_{\rm cl}]$ по классическому пути $t\mapsto x_{\rm cl}(t)$ .
Попробуйте показать, что разница $S[x]-S[x_{\rm cl}]$ является явно положительным функционалом флуктуации $x-x_{\rm cl}$ .

Хорошо, так что я беру второй вариант для этого? В этом случае у меня есть $L(\dot{q})$ , так: $дельта С "=" \int \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта \dot{д} д т "=" \int м \dot{Икс} дельта \dot{Икс} д т "=" - \int м \ddot{Икс} дельта Икс д т$ $\delta S = \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} dt = \int m\dot{x}\delta \dot{x} dt = -\int m\ddot{x} \delta x dt$ и ${дельта}^{2} С "=" - \int м дельта \ddot{Икс} дельта Икс д т "=" \int м дельта \dot{Икс} дельта \dot{Икс} д т "=" \int м (дельта \dot{Икс})^{2} д т .$ $\delta^2 S = - \int m \delta \ddot{x} \delta x dt = \int m \delta \dot{x} \delta \dot{x} dt = \int m ( \delta \dot{x})^2 dt.$ А у этого парня, конечно, больше нуля. Спасибо.

Действительно ли действие свободной частицы минимально?

Алекс Гольдштейн

Qмеханик

Ответы (1)

Qмеханик

Алекс Гольдштейн

Принцип стационарного действия против уравнения Эйлера-Лагранжа

Представляет ли интеграл в формуле действия относительно принципа стационарного действия площадь или длину?

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа в "Механике" Ландау и Лифшица

Докажите, что плотность лагранжиана LL\mathscr{L}, которая порождает данный набор уравнений Эйлера-Лагранжа, не уникальна [дубликат]

Зависимость лагранжиана свободной частицы от времени?

Проблема вариационного исчисления

Вариант Швингера действия точечной частицы с и временем и положением в качестве независимых переменных

Возможно ли, чтобы SSS действия не имела стационарную точку?

Принцип действия и функциональная производная в CM

Вопрос о «разных» уравнениях движения в зависимости от индексов