Вариант Швингера действия точечной частицы с и временем и положением в качестве независимых переменных

Question

Вариант Швингера действия точечной частицы с и временем и положением в качестве независимых переменных

действие
Физика
классическая механика
лагранжев формализм
вариационное исчисление
вариационный принцип

ГодоМисоги

В главе 8, стр. 86-87, уравнения (8.5)-(8.11) Джулиана Швингера и др., Классическая электродинамика , уравнения движения для следующего принципа действия точечной частицы во внешнем потенциале выводятся нетрадиционным способом , из того, что я видел.

Действие дается как:

\begin{matrix} (8.10) & {Вт}_{12} "=" \int_{2}^{1} [\frac{1}{2} м \frac{(д р)^{2}}{д т} - д т В (р, т)] \end{matrix}

$W_{12} = \int_2^1 \left[\frac{1}{2}m\frac{(\mathrm d\bf r)^2}{\mathrm dt} - \mathrm dt\, V(\mathbf r,t)\right]\tag{8.10}$

с вариациями на

\begin{matrix} (8.5) & р (т) \to р (т) + дельта р (т) \end{matrix}

$\mathbf r(t) \to \mathbf r(t) + \delta\mathbf r(t)\tag{8.5}$ и

\begin{matrix} (8.6) & т \to т + дельта т (т), \end{matrix}

$t \to t + \delta t(t),\tag{8.6}$ такое, что в конечных точках

\begin{matrix} (8.7) & дельта т (т_{1}) "=" дельта т_{1}, дельта т (т_{2}) "=" дельта т_{2}, \end{matrix}

$\delta t(t_1) = \delta t_1, \qquad \delta t(t_2) = \delta t_2,\tag{8.7}$ так что пределы интегрирования не изменились. Таким образом, время является функцией параметра time

t

$t$ (то, что я предполагаю, является условным злоупотреблением). Это отличается от обычного подхода, при котором

r

$\mathbf r$ и

\dot{r}

$\dot{\mathbf r}$ рассматриваются как независимые переменные и соответственно варьируются.

Соответствующие изменения дифференциала времени и производной по времени:

\begin{matrix} (8.8) & д т \to д (т + дельта т) "=" (1 + \frac{д дельта т}{д т}) д т, \end{matrix}

$\mathrm dt \to d(t+\delta t) = \left(1 + \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm d t}\right)\mathrm dt,\tag{8.8}$

\begin{matrix} (8.9) & \frac{д}{д т} \to (1 - \frac{д дельта т}{д т}) \frac{д}{д т} . \end{matrix}

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \to \left(1 - \frac{\mathrm d \delta t}{\mathrm d t}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}.\tag{8.9}$

Затем предлагается следующая вариация:

\begin{matrix} (8.11) & дельта {Вт}_{12} "=" \int_{2}^{1} д т {м \frac{д р}{д т} \cdot \frac{д}{д т} дельта р - дельта р \cdot \nabla В - \frac{д дельта т}{д т} [\frac{1}{2} м {(\frac{д р}{д т})}^{2} + В] - дельта т \frac{\partial}{\partial т} В} . \end{matrix}

$\delta W_{12} = \int^1_2 \mathrm dt\left\{m\frac{\mathrm d\bf r}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r - \delta\mathbf r \cdot \nabla V - \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\left[\frac{1}{2}m\left(\frac{\mathrm d\bf r}{\mathrm dt}\right)^2 + V \right] - \delta t \frac{\partial}{\partial t}V\right\}. \tag{8.11}$

Я пытался понять, как это получить, но продолжаю застревать на самом первом шаге. Вот некоторые возможности, которые я рассматривал:

Начните с вариации действия, определяемого как интеграл по лагранжиану, и меняйте его разумно:

$дельта {Вт}_{12} "=" дельта (\int_{2}^{1} л (р, \dot{р}, т)) "=" \int_{2}^{1} [дельта л д т + л дельта (д т)]$ $\delta W_{12} = \delta \left(\int_2^1 L(\mathbf r, \dot{\mathbf r}, t)\right) = \int^1_2 \left[\delta L\,\mathrm dt + L\,\delta(\mathrm dt)\right]$

Рассматривать вариацию как «преобразование», т.е. подставлять преобразованные параметры в лагранжиан:

$\int_{2}^{1} л [р + дельта р, (1 - \frac{д дельта т}{д т}) \frac{д}{д т} (р + дельта р (т)), т + дельта т] [1 + \frac{д дельта т}{д т}] д т$ $\int_2^1 L\left[\mathbf r + \delta\mathbf r, \left(1 - \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf r + \delta\mathbf r(t)\right), t + \delta t\right]\left[1 + \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right]\mathrm dt$

Рассмотрим изменение члена кинетической энергии свободной частицы, что приводит к следующему выражению, как я его понимаю:

$\begin{aligned} дельта {(\frac{д р}{д т})}^{2} & "=" 2 (\frac{д р}{д т}) [дельта (\frac{д}{д т}) р + \frac{д}{д т} дельта р] \\ "=" 2 (\frac{д р}{д т}) [(1 - \frac{д дельта т}{д т}) \frac{д р}{д т} + \frac{д}{д т} дельта р] \end{aligned}$ $\begin{align*} \delta\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)^2 & = 2\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)\left[\delta\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right)\mathbf r + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r\right] \\ & = 2\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)\left[\left(1-\frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right)\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt} + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r\right] \end{align*}$

После обычного расширения Тейлора до первого порядка я не вижу ни одного из них, ведущих к варианту, данному в книге. Какой метод, если таковой имеется, является правильным? Я также не особо уверен, правильно ли 3.

Ответы (1)

Вариант Швингера действия точечной частицы с *и* временем и положением в качестве независимых переменных

Qмеханик · Answer 1

Вот, пожалуй, более четкий подход. OP по существу уже упоминает, что Schwinger et al. разрешают репараметризацию времени на фиксированном интервале параметров

\begin{matrix} (А) & [λ_{я}, λ_{ф}] ∋ λ \mapsto {Икс}^{мю} (λ) е р^{4}, Икс \equiv р \circ т, {Икс}^{0} \equiv т . \end{matrix}

$[\lambda_i,\lambda_f]~\ni~\lambda~~\mapsto ~~x^{\mu}(\lambda)~\in~\mathbb{R}^4, \qquad {\bf x}~\equiv~{\bf r}\circ t, \qquad x^0~\equiv~t.\tag{A}$

Действие

\begin{matrix} (Б) & С [{Икс}^{мю}] "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т л "=" \int_{λ_{я}}^{λ_{ф}} д λ \dot{т} л, л "=" л ({Икс}^{мю}, в), в "=" \frac{д р}{д т} "=" \frac{\dot{Икс}}{\dot{т}}, \end{matrix}

$S[x^{\mu}]~=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt ~L~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda ~\dot{t}L, \qquad L~=~L(x^{\mu},{\bf v}), \qquad {\bf v} ~:=~\frac{d{\bf r}}{d t}~=~\frac{\dot{\bf x}}{\dot{t}},\tag{B}$

где точка означает дифференцирование относительно. $\lambda$ . Определите импульс и энергию как

\begin{matrix} (С) & п "=" \frac{\partial л}{\partial в} и час "=" в \cdot п - л . \end{matrix}

${\bf p}~:=~\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}\qquad\text{and}\qquad h~:=~{\bf v}\cdot{\bf p}-L .\tag{C}$

Бесконечно малая вариация действия дает

дельта С "=" С [{Икс}^{' мю}] - С [{Икс}^{мю}] "=" \dots "=" \int_{λ_{я}}^{λ_{ф}} д λ \sum_{мю "=" 0}^{3} \frac{дельта С}{дельта {Икс}^{мю}} дельта {Икс}^{мю} + {[\sum_{мю "=" 0}^{3} \frac{\partial [\dot{т} л]}{\partial {\dot{Икс}}^{мю}} дельта {Икс}^{мю}]}_{λ "=" λ_{я}}^{λ "=" λ_{ф}}

$\delta S ~:=~S[x^{\prime \mu}]- S[x^{\mu}] ~=~\ldots~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda \sum_{\mu=0}^3\frac{\delta S}{\delta x^{\mu}}\delta x^{\mu} + \left[\sum_{\mu=0}^3\frac{\partial [\dot{t}L]}{\partial \dot{x}^\mu}\delta x^{\mu} \right]_{\lambda=\lambda_i}^{\lambda=\lambda_f}$

\begin{matrix} (Д) & "=" \dots "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т (\frac{\partial л}{\partial р} - \frac{д п}{д т}) \cdot дельта р + \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т (\frac{\partial л}{\partial т} + \frac{д час}{д т}) \cdot дельта т + {[п \cdot дельта р - час дельта т]}_{т "=" т_{я}}^{т "=" т_{ф}}, \end{matrix}

$~=~\ldots~=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt\left(\frac{\partial L}{\partial {\bf r}}-\frac{d{\bf p}}{dt}\right)\cdot \delta {\bf r} + \int_{t_i}^{t_f} \!dt\left(\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{dh}{dt}\right)\cdot \delta t + \left[{\bf p}\cdot\delta{\bf r} -h \delta t\right]_{t=t_i}^{t=t_f}, \tag{D}$ что эквивалентно последнему выражению в уравнении. (8.11).

Ах, это делает вещи намного яснее с общей точки зрения. Спасибо за отличный ответ, но я хотел бы знать, как включить преобразования дифференциала и производной непосредственно в действие, как это делается в книге, чтобы получить результат. В частности, мне любопытно, какие шаги из моего вопроса являются/являются логически правильными, если таковые имеются.

Вариант Швингера действия точечной частицы с и временем и положением в качестве независимых переменных

ГодоМисоги

Ответы (1)

Qмеханик

ГодоМисоги

Принцип стационарного действия против уравнения Эйлера-Лагранжа

Представляет ли интеграл в формуле действия относительно принципа стационарного действия площадь или длину?

Зависимость лагранжиана свободной частицы от времени?

Возможно ли, чтобы SSS действия не имела стационарную точку?

Принцип действия и функциональная производная в CM

Почему общее действие должно иметь экстремум?

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Почему формула стационарного действия выражается как кинетическая минус потенциальная энергия, а не потенциальная минус кинетическая энергия?

Каково значение действия?

Доказательство независимости лагранжиана от положения свободной частицы с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа