Зависимость лагранжиана свободной частицы от времени?

I) В лагранжиане$L(q(t),\dot{q}(t),t)$, следует различать неявную зависимость от времени через переменные$q(t)$и$\dot{q}(t)$, и явная зависимость от времени.$^1$

Однако неявная временная зависимость в лагранжиане$L$имеет смысл только в контексте фиксированного (но произвольного, возможно, виртуального) пути

$$\tag{1} [t_i,t_f]~\stackrel{q}{\longrightarrow}~\mathbb{R}^n.$$ Неявная временная зависимость обычно будет другой для другого пути.

II) На самом деле (возможно, виртуальный) путь (1) технически не является входом для лагранжиана.$L$. Скорее лагранжиан

$$\tag{2} \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\times [t_i,t_f]~\stackrel{L}{\longrightarrow}~\mathbb{R}$$ это функция $$\tag{3} (q,v,t)~\mapsto~ L(q,v,t)$$ (в отличие от функционала), который зависит только от

1. мгновение$t\in[t_i,t_f]$,

2. мгновенное положение$^2$ $q\in\mathbb{R}^n$, и

3. мгновенная скорость$v\in\mathbb{R}^n$;

ни прошлое, ни будущее.

Обратите внимание, что здесь мы используем символ$v$а не обозначение$\dot{q}\equiv \frac{dq}{dt}$. Это связано с тем, что способность различать$\frac{dq}{dt}$означало бы, что мы знаем (по крайней мере, часть) пути (1), а не просто информацию о мгновенном состоянии$(q,v,t)$системы.

III) Напротив, действие

$$\tag{4} S[q] ~:=~ \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$$ является функционалом (в отличие от функции), который зависит от (возможно, виртуального) пути (1).

Для получения более подробной информации, такой как, например, объяснение того, как работает вариационное исчисление, почему$q$и$v$независимые переменные в лагранжиане (3), но зависимые переменные в действии (4) и т. д.; см., например, этот связанный пост Phys.SE и ссылки в нем.

--

$^1$Кстати, если лагранжиан$L(q,v)$не имеет явной зависимости от времени, то энергия

$$\tag{5} h(q,v)~:=~v^i \frac{\partial L(q,v)}{\partial v^i}-L(q,v)$$ сохраняется, см. Теорема Нётер .

$^2$Здесь$q\in\mathbb{R}^n$обозначает$n$-tuple, в отличие от экв. (1) где$q$обозначает путь/кривую.

Думайте о принципе действия как об абстрактном отображении траекторий.$\mathbf r = (\vec r(t), t_0, t_1)$на какое-то число$S(\mathbf r)$которая больше не зависит явно от времени.

Теперь иногда действие можно вычислить из другой функции. Другая функция просто имеет набор параметров , которые мы можем вызвать$\{\alpha_i\}, ~ \{\beta_i\}, ~ \tau$. С точки зрения этой функции это просто числа.

Мы говорим, что эта функция является лагранжианом, если мы вычисляем действие по ней, выполняя интеграл по времени:

$S(\mathbf r) = \int_{t_0}^{t_1} dt~ L(\{\alpha_i = r_i(t)\}, ~ \{\beta_i = \dot r_i(t)\},~ \tau = t)$

Другими словами, функция еще не «знает» о физике; физика проникнута принципом наименьшего действия . Лагранжиан — это просто функция, которая принимает набор переменных и выдает число. Конечно, если вы «знаете», что на этот раз будет выполнен интеграл по времени, вы можете применить эту функцию к реальной траектории частицы, и тогда вы обнаружите, что она зависит от времени, но сама по себе это просто функция, используемая действием принцип для всех траекторий , чтобы вычислить их действие.

Поэтому, когда мы пропускаем запись параметров как$\{\alpha_i\}, ~ \{\beta_i\}, ~ \tau$и вместо этого напишите их как$\{r_i\}, ~ \{v_i\}, ~ t$это просто повторное использование этих символов в качестве имен для чисел, которые мы в конечном итоге собираемся поместить в функцию. Этот «каламбур» (как его называет язык программирования Haskell) поначалу немного сбивает с толку, но он помогает нам вспомнить, что было чем, когда мы позже будем подставлять значения.

Вы говорите : «Когда мы вычисляем действие как интеграл от лагранжиана для волнистой траектории, скорость, очевидно, зависит от времени, как и лагранжиан» .

Как именно скорость зависит от времени? Прежде чем применить принцип наименьшего действия и найти траекторию объекта, у нас есть лагранжиан, зависящий от скорости (через кинетическую энергию), положения и (в конечном итоге) времени (через потенциальную энергию). Мы понятия не имеем, как скорость зависит от времени. Существует континуум форм зависимостей, потому что существует континуум форм траекторий, по которым объект может следовать в принципе. Вот почему, прежде чем минимизировать действие, мы принимаем в лагранжиане скорость как переменную саму по себе.

Мы не знаем траекторию до минимизации действия, так как у нас нет связи между скоростью и временем.