Действительно ли электрический заряд сохраняется для бозонной материи?

Question

Действительно ли электрический заряд сохраняется для бозонной материи?

Пустота

Еще до квантования заряженные бозонные поля проявляют определенное «самовзаимодействие». Тело этого поста демонстрирует этот факт, а последний абзац задает вопрос.

Обозначения/ Лагранжианы

Позвольте мне сначала привести соответствующие лагранжианы и пояснить обозначения.

Я говорю о комплексной скалярной КЭД с лагранжианом

л знак равно \frac{1}{2} Д_{мю} ф^{*} Д^{мю} ф - \frac{1}{2} м^{2} ф^{*} ф - \frac{1}{4} Ф^{мю ν} Ф_{мю ν}

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} D_\mu \phi^* D^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^* \phi - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ Где

D_{μ} ϕ = (\partial_{μ} + i e A_{μ}) ϕ

$D_\mu \phi = (\partial_\mu + ie A_\mu) \phi$ ,

D_{μ} ϕ^{*} = (\partial_{μ} - i e A_{μ}) ϕ^{*}

$D_\mu \phi^* = (\partial_\mu - ie A_\mu) \phi^*$ а также

F^{μ ν} = \partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}

$F^{\mu \nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ . Я также упоминаю обычную КЭД с лагранжианом

л знак равно \bar{ψ} (я Д_{мю} γ^{мю} - м) ψ - \frac{1}{4} Ф^{мю ν} Ф_{мю ν}

$\mathcal{L} = \bar{\psi}(iD_\mu \gamma^\mu-m) \psi - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ и "векторная КЭД" (связь U(1) с полем Прока )

л знак равно - \frac{1}{4} (Д^{мю} Б^{* ν} - Д^{ν} Б^{* мю}) (Д_{мю} Б_{ν} - Д_{ν} Б_{мю}) + \frac{1}{2} м^{2} Б^{* ν} Б_{ν} - \frac{1}{4} Ф^{мю ν} Ф_{мю ν}

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4} (D^\mu B^{* \nu} - D^\nu B^{* \mu})(D_\mu B_\nu-D_\nu B_\mu) + \frac{1}{2} m^2 B^{* \nu}B_\nu - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$

Четырехтоки получаются из теоремы Нётер . Натуральные единицы $c=\hbar=1$ используются. $\Im$ означает мнимую часть.

Нётеровы токи частиц

Рассмотрим нётеровский ток комплексного скаляра $\phi$

{Дж}^{мю} знак равно \frac{е}{м} ℑ (ф^{*} \partial^{мю} ф)

$j^\mu = \frac{e}{m} \Im(\phi^* \partial^\mu\phi)$ Представляем местные

U (1)

$U(1)$ датчик у нас есть

\partial_{μ} \to D_{μ} = \partial_{μ} + i e A_{μ}

$\partial_\mu \to D_\mu=\partial_\mu + ie A_\mu$ (с

- i e A_{μ}

$-ieA_\mu$ для комплексного сопряжения). Новый ток Нётер

{Дж}^{мю} знак равно \frac{е}{м} ℑ (ф^{*} Д^{мю} ф) знак равно \frac{е}{м} ℑ (ф^{*} \partial^{мю} ф) + \frac{е^{2}}{м} | ф |^{2} А^{мю}

$\mathcal{J}^\mu = \frac{e}{m} \Im(\phi^* D^\mu\phi) = \frac{e}{m} \Im(\phi^* \partial^\mu\phi) + \frac{e^2}{m} |\phi|^2 A^\mu$ Аналогично для поля Прока

B^{μ}

$B^\mu$ (массивный бозон со спином 1) имеем

{Дж}^{мю} знак равно \frac{е}{м} ℑ (Б_{мю}^{*} (\partial^{мю} Б^{ν} - \partial^{ν} Б^{мю}))

$j^\mu = \frac{e}{m} \Im(B^*_\mu(\partial^\mu B^\nu-\partial^\nu B^\mu))$ Что по той же процедуре приводит к

{Дж}^{мю} знак равно \frac{е}{м} ℑ (Б_{мю}^{*} (\partial^{мю} Б^{ν} - \partial^{ν} Б^{мю})) + \frac{е^{2}}{м} | Б |^{2} А^{мю}

$\mathcal{J}^\mu = \frac{e}{m} \Im(B^*_\mu(\partial^\mu B^\nu-\partial^\nu B^\mu))+ \frac{e^2}{m} |B|^2 A^\mu$

Похожий $e^2$ члены также появляются в самом лагранжиане как $e^2 A^2 |\phi|^2$ . С другой стороны, для биспинора $\psi$ (спин 1/2 массивного фермиона) у нас есть ток

{Дж}^{мю} знак равно {Дж}^{мю} знак равно е \bar{ψ} γ^{мю} ψ

$j^\mu = \mathcal{J}^\mu = e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$ Так как не имеет никакого

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ включены.

«Самозарядка»

Теперь рассмотрим очень медленно движущиеся или даже неподвижные частицы, мы имеем $\partial_0 \phi, \partial_0 B \to \pm im\phi, \pm im B$ а ток по сути $(\rho,0,0,0)$ . За $\phi$ имеем, таким образом, примерно

р знак равно е (| ф^{+} |^{2} - | ф^{-} |^{2}) + \frac{е^{2}}{м} (| ф^{+} |^{2} + | ф^{-} |^{2}) Φ

$\rho = e (|\phi^+|^2-|\phi^-|^2) + \frac{e^2}{m} (|\phi^+|^2 + |\phi^-|^2) \Phi$ Где

A^{0} = Φ

$A^0 = \Phi$ представляет собой электростатический потенциал и

ϕ^{\pm}

$\phi^\pm$ являются «положительной и отрицательной частотными частями»

ϕ

$\phi$ определяется

\partial_{0} ϕ^{\pm} = \pm i m ϕ^{\pm}

$\partial_0 \phi^\pm = \pm im \phi^\pm$ . Аналогичный термин появляется для поля Proca.

Для интерпретации вернемся к единицам СИ, в этом случае мы получим только $1/c^2$ фактор. «Дополнительная плотность»

Δ р знак равно е \cdot \frac{е Φ}{м с^{2}} \cdot | ф |^{2}

$\Delta \rho = e\cdot \frac{e \Phi}{mc^2}\cdot |\phi|^2$ То есть имеется дополнительная плотность, пропорциональная отношению энергии электростатического поля

e Φ

$e \Phi$ а масса покоя частицы

m c^{2}

$mc^2$ . Знак этой дополнительной плотности зависит только от знака электростатического потенциала, и обе частотные части вносят вклад с одним и тем же знаком (что очень странно). Это означало бы, что классически «голый» заряд бозонов в сильных электромагнитных полях не сохраняется, только этот обобщенный заряд равен .

В конце концов, вызов $\mathcal{J}^\mu$ ток электрического заряда. Умножая его на $m(c^2)/e$ он становится током плотности материи с дополнительным членом, соответствующим массе, полученной за счет электростатической энергии. Однако это не меняет того факта, что «голая плотность заряда» $j^0$ кажется, не сохраняется для бозонов.

Теперь к вопросам:

На теоретическом уровне нарушается ли хотя бы временно или фактически сохранение заряда для бозонов в сильных электромагнитных полях? (Совершенно очевидно, что в конечной S-матрице сохранение заряда не будет нарушено, и как $\mathcal{O}(e^2)$ эффекта это, вероятно, не будет отражаться в процессах первого порядка.) Есть ли интуитивная физическая причина, по которой такое нарушение не верно для фермионов даже на классическом уровне?
Заряженных бозонов не так много в фундаментальных теориях, но они часто появляются в эффективных теориях поля. Отражается ли в них как-то это несохранение «голого заряда» и связаны ли с ним экспериментальные явления?

Диего Масон

Я подробно ответил на все ваши вопросы. Что ты не понимаешь?

Ответы (2)

Действительно ли электрический заряд сохраняется для бозонной материи?

Я подробно ответил на все ваши вопросы. Что ты не понимаешь?

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v3):

В отличие от КЭД с фермионным веществом, в КЭД с бозонным веществом полный нётеровский ток ${\cal J}^{\mu}$ (для глобальных калибровочных преобразований) явно зависит от калибровочного потенциала $A^{\mu}$ см., например, ссылки. 1-2 и этот пост Phys.SE.
Причина этого различия в том, что лагранжиан КЭД для фермионной (бозонной) материи обычно содержит одну (две) пространственно-временную производную. $\partial_{\mu}$ , который после минимальной связи $\partial_{\mu}\to D_{\mu}$ приводит, например, к отсутствию (а) четвертого члена связи материя-материя-фотон-фотон соответственно.
Полный ток Нётер ${\cal J}^{\mu}$ калибровочно-инвариантная и сохраняющаяся величина, $d_{\mu }{\cal J}^{\mu} \approx 0$ . [Здесь $d_{\mu}\equiv\frac{d}{dx^{\mu}}$ означает полную пространственно-временную производную, а $\approx$ символ означает равенство по модулю eom.] Электрический заряд $Q=\int \! d^3x ~{\cal J}^{0}$ является сохраняющейся величиной.
Единственными физическими наблюдаемыми в калибровочной теории являются калибровочно-инвариантные величины. Количество $j^{\mu}$ , который OP называет «голым током», не является калибровочно-инвариантным и, следовательно, не является последовательной физической наблюдаемой для рассмотрения.
Как отмечает Тримок в комментарии, ситуация для неабелева (в отличие от абелева) Янга-Миллса радикально отличается. Полный ток Нётер ${\cal J}^{\mu a}$ (для глобальных калибровочных преобразований) является сохраняющимся $d_{\mu }{\cal J}^{\mu a} \approx 0$ , но ${\cal J}^{\mu a}$ не является калибровочно-инвариантным (или даже калибровочно-ковариантным) и, следовательно, не является последовательной физической наблюдаемой для рассмотрения. Не существует четко определенного наблюдаемого для цветового заряда, который можно было бы измерить. Это следует также из теоремы Вайнберга-Виттена (для спина 1): теория с глобальной неабелевой симметрией, при которой заряжены безмассовые частицы со спином 1, не допускает калибровочно- и лоренц-инвариантного сохраняющегося тока, ср . Ссылка 3.

Использованная литература:

М. Средненицкий, КТП, глава 61.
М. Д. Шварц, КТП и Стандартная модель, раздел 8.3 и глава 9.
М. Д. Шварц, КТП и Стандартная модель, раздел 25.3.

Да, некоторые из этих наблюдений привели меня к этому вопросу. Но скажем, у нас есть макроскопический материал с бозонными заряженными частицами, возьмем на него очень сильное электростатическое поле и измерим его заряд. Должны ли мы измерять $\mathcal{J}^0$ при всех условиях? Я предполагаю, что 3. подразумевает да, и это означает, что мы измерили бы объект, чтобы иметь заряд, отличный от ситуации с нулевым полем. Дополнительный «не голый» заряд, очевидно, исходит от поля, но это понятие сильно отличается от обычного интуитивного понимания «заряда».
${\cal J}^{\mu}$ является ковариантной величиной, то она должна проверять $D_\mu {\cal J}^{\mu}=0$ , но сохраняющаяся величина соответствует $\partial_\mu {\cal J}^{\mu}=0$ . Итак, совместимы ли здесь понятия коварианта и сохраняющегося тока? (например, это не так в теориях Янга-Миллса).
1. Я не понимаю, как это отвечает на вопрос Тримока. Не могли бы вы ответить на него более подробно? 2. Кроме того, ваши обозначения нестандартны - это ваша "полная производная пространства-времени" $d_\mu$ отличается от обычной частной производной $\partial_\mu$ ?
1. См. пункт 5 в моем ответе. 2. Да, символ $d_{\mu}$ используется для того, чтобы подчеркнуть, что это полная производная, т. е. включает как неявные, так и явные пространственно-временные дифференциации.

Диего Масон · Answer 2

1) Да, заряд действительно и точно сохраняется. Что вас смущает, я думаю, так это то, что ток для скалярного поля явно зависит от 4-потенциала $A$ , тогда как для спина 1/2 нет. Очевидно, это связано с числом производных в лагранжевом кинетическом члене, а также с числом производных в токе. Это может помочь вам понять, что происходит, если принять канонический формализм (также известный как язык джентльменов), в котором в обоих случаях плотность (а также заряд) включает произведение канонического импульса и поля, поскольку оно иначе и быть не могло, потому что заряд есть не что иное, как бесконечно малый генератор $U(1)$ преобразования как для поля, так и для канонического импульса.

Посмотрим на выражения. Для спина 1/2 плотность заряда равна:

р_{1 / 2} \propto ψ^{*} ψ

$\rho_{1/2}\propto\psi ^{*}\, \psi$ куда

ψ^{*}

$\psi ^{*}$ есть канонический сопряженный импульс

ψ

$\psi$ (замените звезды на крестики для операторов).

Для комплексного скалярного поля:

р_{0} \propto ф^{*} Д^{0} ф - ф Д^{0} ф^{*} знак равно ф^{*} π - ф π^{*}

$\rho_0\propto \phi^*\,D^0\phi - \phi\,D^0\phi^* =\phi^*\, \pi - \phi\,\pi^*$

куда $\pi^*$ также является каноническим импульсом для $\phi$ . Обратите внимание, что среди пропущенных префакторов есть воображаемая единица $i$ , так что плотность заряда действительна.

Очевидно, что заряд, определяемый как интеграл по всему пространству плотности заряда, порождает $U(1)$ фазовые превращения при воздействии на поля и импульсы обоих спинов.

Теперь рассмотрим плотности гамильтониана (нижний индекс относится к спину) этих полей в электромагнитном поле:

{ЧАС}_{1 / 2} знак равно ψ^{*} (- \vec{γ} \cdot \vec{Д} + м) ψ + д А_{0} р_{1 / 2}

$\mathcal H_{1/2} = \psi^*(-\vec{\gamma}\cdot\vec D+ m )\,\psi + q\,A_0\,\rho_{1/2}$

{ЧАС}_{0} знак равно π^{*} π + (\vec{Д} ф)^{*} \cdot (\vec{Д} ф) + м^{2} ф^{*} ф + д А_{0} р_{0}

$\mathcal H_{0} = \pi^*\pi+(\vec D\phi)^*\cdot(\vec D\phi) + m^2\phi^*\phi + q\,A_0\,\rho_{0}$

Теперь мы хотим вычислить, как меняется заряд при изменении электромагнитного поля. Мы можем, например, представить себе ситуацию, когда электромагнитное поле является внешним, зависящим от времени (мы можем включать и выключать его, изменять его интенсивность и т. д.), а поля связаны с пробными частицами. (Конечно, мы знаем, что заряд является сохраняющейся величиной по теореме Нётер, но мы хотим явно вычислить его изменение). В обоих случаях изменение плотности будет задаваться ее коммутатором (или скобкой Пуассона, мы находимся в классической области) с гамильтонианом. Тогда легко проверить, используя канонические соотношения между сопряженными парами, что для обоих спинов, неожиданность, неожиданность, мы получаем:

\dot{р} знак равно - \vec{\nabla} \cdot \vec{Дж}

$\dot\rho = - \vec{\nabla} \cdot \vec{J}$ И, следовательно, заряд постоянен до тех пор, пока поля материи достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности. Это можно было бы увидеть намного быстрее из

U (1)

$U(1)$ инвариантность гамильтониана, но я хотел воспроизвести уравнение неразрывности.

Чего, возможно, не хватает в OP, так это того, что помимо изменения в $A$ , нужно учитывать изменение полей материи. То есть, $A$ меняется, и поля материи меняются так, что заряд не меняется. Это не волшебство, это так по конструкции (взаимодействие $U(1)$ симметрия). Если вместо внешнего электромагнитного поля мы хотим рассмотреть внутреннее поле, создаваемое полями заряженной материи, то, просто используя уравнение Максвелла, мы снова получаем уравнение неразрывности.

2) То, что вы называете «голым зарядом», что, вероятно, не является хорошим названием, поскольку этот термин зарезервирован для чего-то другого, отсутствие физического содержания перед фиксацией датчика, поскольку это не является калибровочно-инвариантной величиной. Обратите внимание, однако, что всегда можно выбрать свой любимый датчик. И если выбрать временной датчик ( $A_0=0$ ), заряд не зависит от 4-потенциала ( $D_0\phi=\partial _0 \phi$ в этом калибре), а форма такая же, как у вашего «голого заряда», который сохраняется в этом калибре.

3) Единственная разница в движении частиц со спином 1/2 и частиц со спином 0 в электромагнитном поле заключается в члене, пропорциональном

о_{мю ν} Ф^{мю ν}

$\sigma_{\mu\nu}\, F^{\mu\nu}$

в уравнении для частиц со спином 1/2. Этот термин порождает термин

С \cdot Б

$\bf{S}\cdot \bf{B}$

в нерелятивистском пределе, т. е. взаимодействие спина частицы с магнитным полем.

4) Это может помочь вам получить уравнение в вашем ответе, если сначала подумать об уравнении движения в нерелятивистском пределе, которое является уравнением Шредингера в электромагнитном поле, то есть уравнением Шредингера, заменяющим частные производные на калибровочный- ковариантные (для скалярных частиц, для спина 1/2 есть дополнительный член, который я написал выше).

1) Рассмотрим фиксированное число $N$ из $\phi$ частицы заряда $e$ . ЭМ поле связано как $\partial_\mu F^{\mu \nu} = \mathcal{J}^\nu$ и асимптотика поля, таким образом, $\sim Q/r$ далеко от бозонов. Теперь увеличьте ЭМ поле, скажем, однородным электростатическим полем. Итак, поскольку заряд точно сохраняется, означает ли увеличение электромагнитного поля, что $\phi$ частицы исчезают? Это через $N$ или же $e$ что частицы исчезают? Почему это должно отличаться от фермионного случая?
Гамильтонов формализм, по-видимому, в этом случае просто скрывает вещи. Если взять оператор заряда с точки зрения операторов рождения и уничтожения, то просто есть что-то лишнее, смысл которого неясен. Квантование заряда и сохранение числа (частиц-античастиц) как-то противоречит сохранению заряда.
2) Да, "голая зарядка" - нехорошее название. Но темпоральная калибровка противоречит тому, чтобы приравнять все производные по времени к нулю, поскольку вы должны иметь $\vec{E} \sim - \partial_0 \vec{A}$ и т. д. Кроме того, заряд был бы просто нулевым в случае $\partial_0 \phi = 0$ а также $\Phi =0$ .
3) Мы на самом деле не делаем нерелятивистский предел $U(1)$ связанных бозонов, мы берем нерелятивистский предел связанных бозонов Юкавы, для которых связь Юкавы является следствием того, что частицы действительно являются составными частицами (такими как пионы) с фермионным $U(1)$ связь с электромагнитными полями.
@Void 1) Когда вы включаете внешнее гомогенное электростатическое поле, динамика полей материи $\phi$ изменяются таким образом, что они компенсируют изменение $A_0$ . Это калибровочно-ковариантная версия в конфигурационном пространстве (без канонического импульса). Другой способ увидеть это — зафиксировать временную калибровку, где нет явной зависимости от $A$ . Таким образом, внешнее гомогенное поле просто $A_0=0$ , $\vec A=\vec E_0 \, t$ . Ни частицы не исчезают, ни их заряд не исчезает. Они просто меняют свое движение.
@Void Канонический формализм ничего не скрывает. Тут все понятно и нет ничего несовместимого, 2) Просто нельзя все временные производные положить равными нулю, Насколько я понимаю, это не разумный физический предел. Как вы обосновываете этот предел? Это другая динамика, а не предел. 3) Я не понимаю, как это относится к этой проблеме.
@Void Поскольку я не понимаю, откуда у вас путаница, позвольте попытаться помочь, сказав, что в нерелятивистском квантовом с электромагнитным полем плотность заряда просто $\psi^*\,\psi$ а плотность тока есть мнимая часть $\psi^*\vec D \psi$ . зависит явно от $A$ как для бозонов, так и для фермионов. Именно этот ток, а не ток с нековариантными производными, является калибровочно-инвариантным. Это выражение с ковариантом даст зависимость от кинематического движения частицы.

Действительно ли электрический заряд сохраняется для бозонной материи?

Пустота

Диего Масон

Ответы (2)

Qмеханик

Пустота

Тримок

Qмеханик

тпаркер

Qмеханик

Диего Масон

Пустота

Пустота

Пустота

Пустота

Диего Масон

Диего Масон

Диего Масон

Пустота

Сохранение заряда в комплексном поле Клейна-Гордона

Все ли формы «заряда» Лоренца инвариантны?

Почему важно, чтобы векторный ток сохранялся в КЭД?

Входит ли в неабелеву калибровочную теорию обычная или ковариантная производная в утверждение о сохранении тока?

Калибровочные избыточности и глобальные симметрии [закрыто]

Могут ли квантовые эффекты обойти теорему Нётер?

Почему материя не может аннигилировать сама с собой?

Модели высшего типа Черна-Саймонса

Построение суперсимметричного тензора Фарадея

Калибровочная инвариантность и диффеоморфизм-инвариантность в теории Черна-Саймонса