Входит ли в неабелеву калибровочную теорию обычная или ковариантная производная в утверждение о сохранении тока?

Мы оба правы!

Следуя предложению AccidentalFourierTransform в комментариях, «Квантовая теория полей, том II» Вайнберга действительно дает соответствующее объяснение несоответствия между обычным сохранением нётеровского тока в калибровочной теории путем применения теоремы Нётер к глобальной версии теории поля. калибровочная симметрия и ковариантное сохранение, заявленное Среднецки.

1. Обычное сохранение полного тока Нётер: теорема Нётер, взятая за чистую монету, не содержит калибровочных ковариантных производных. Течение Нётер

   $$J^\mu = \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta(\partial_\mu \phi_i)}\delta \phi_i\tag{1}$$ для глобальной симметрии$\phi_i\mapsto \phi_i + \epsilon \delta \phi_i$лагранжевой плотности$\mathcal{L}$сохраняется в обычном смысле$\partial_\mu J^\mu \approx 0$. Здесь$\phi_i$включают как калибровочное поле, так и поле материи.

2. Ковариантное сохранение материальной части нётеровского тока в теории Янга-Миллса : В теории Янга-Миллса с лагранжианом вида

   $$\mathcal{L}_\text{YM}[A,\psi] = - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{a\mu\nu} + \mathcal{L}_\text{matter}(\psi,D_\mu \psi)\tag{2},$$ где$F = \mathrm{d} A + A \wedge A$- обычный тензор напряженности поля неабелева калибровочного поля$A$,$\mathcal{L}_\text{matter}$функция, которая дает лагранжиан материи, не связанный с любым калибровочным полем, как$\mathcal{L}(\psi,\partial_\mu \psi)$и$\psi$одно (или несколько) полей материи, заряженных калибровочной группой в представлении$\rho$, обычный нётеровский ток (1) при глобальной версии калибровочной симметрии, порожденной$T^a$более явно дается $$J^{\mu a} = - C^{cab}F^{c\mu\nu}A^b_\nu - \underbrace{\frac{\delta \mathcal{L}_\text{matter}}{\delta(D_\mu \psi)}\rho(T^a)\psi}_{=:j^{\mu a}},\tag{3}$$ где$C$— структурные константы неабелевой калибровочной группы. Кроме того, этот ток является током, участвующим в уравнении движения$\mathrm{d}{\star}F = {\star}J$. Однако уравнение движения можно записать в терминах ковариантной производной напряженности поля: $$D^{ab}_{\mu} F^{b\mu\nu} = - j^{\nu a}\tag{4}$$ Стягивая это уравнение с$D_\nu$дает: $$- D^{ca}_\mu j^{\nu a} = D^{ca}_\nu D^{ab}_\mu F^{b\mu\nu} = [D^{ca}_\nu ,D^{ab}_\mu] F^{b\mu\nu} = 0\tag{5},$$ откуда следует последнее равенство, поскольку$[D,D]$просто$F$действуя в правильном представлении на то, что находится за ним. С$F$является ли-алгеброзначной, она находится в присоединенном представлении, поэтому мы получаем$\rho_\text{ad}(F) F = [F,F] = 0$. Это и есть искомый «ковариантный закон сохранения». Таким образом, я заключаю, что формулы Средненицкого правильны, но та часть, где он утверждает, что это следует из теоремы Нётер, возможно, могла бы потребовать немного большей проработки.

Вайнберг также услужливо указывает, что, хотя это не относится непосредственно к общей теории относительности, поскольку это не теория Янга-Миллса, два течения$J,j$прямо отражаются ковариантно сохраняющимся тензором энергии-импульса$T_{\mu\nu}$и обычно сохраняющийся псевдотензор, полученный добавлением того, что Вайнберг называет нелинейной частью$R^{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu})$к$T_{\mu\nu}$и то, что я думаю, обычно называют псевдотензором Ландау-Лифшица . То, что обычно сохраняющийся объект является лишь псевдотензором, является в точности аналогом$J^{\mu a}$не преобразуется в правильное линейное представление, а подобно калибровочному полю (из-за появления$A$в своем выражении).