Могут ли квантовые эффекты обойти теорему Нётер?

Предположим, нам дан классический лагранжиан с непрерывной группой симметрий, к которому мы можем применить теорему Нётер. Есть несколько способов, которыми соответствующая квантовая теория поля может «избежать» теоремы Нётер:

1. Это квантово : это должно быть несколько очевидно, но теорема Нётер — это утверждение о классической механике и «константах движения» по классическим траекториям. В квантовой теории таких траекторий нет — интеграл по путям интегрируется по всем путям, независимо от того, решают ли они уравнение, просто классические пути дают наибольший вклад в приближении наискорейшего спуска — и поэтому теорема Нётер не является утверждением о квантовая теория.

   Можно было бы утверждать, что классически сохраняющийся заряд также сохраняется в квантовой теории, заключался бы в том, что вы утверждали бы, что нётеровский заряд Пуассона коммутирует с гамильтонианом в гамильтоновом формализме и, следовательно, коммутирует с квантовым гамильтонианом после канонического квантования. Однако каноническое квантование (замена скобок Пуассона коммутаторами) - это просто очень мощная эвристика, а не четко определенная карта между классической и квантовой физикой сама по себе. В частности, может произойти следующее:

2. Квантовые аномалии: симметрия, которая является классической симметрией лагранжиана, не обязательно должна быть симметрией квантовой теории в том смысле, что инвариантность лагранжиана не подразумевает инвариантность интеграла по путям или квантового эффективного действия. Стандартным примером является киральная аномалия электрослабой теории, которая действительно означает, что классически сохраняющийся нётеровский ток не сохраняется в квантовой теории. Более общее обсуждение аномалий см. в этом ответе . Аномалии глобальных симметрий — интересные, но не опасные явления, аномалии калибровочных симметрий — препятствие для создания четко определенной квантовой теории, а требование об отсутствии полной аномалии калибровочной симметрии — сильное ограничение при построении моделей.

3. Контактные термины: Как сказано выше, теорема Нётер как таковая неприменима к квантовым теориям. Квантовая версия этого называется тождеством Уорда-Такахаши , которое, по сути, утверждает, что математическое ожидание тока Нётер сохраняется, но только до «терминов контакта» в целом. То есть, где бы вы это$(\partial_\mu j^\mu) \text{stuff} = 0$классически, вы обнаружите, что

   $$\langle \partial_\mu j^\mu(x) \prod_i \phi_i(x_i)\rangle = -\mathrm{i}\sum_{j=1}^n\langle \phi_1(x_1)\dots \delta\phi_j(x_j)\dots\phi_n(x_n)\rangle,$$ где$\delta\phi_i$является классическим бесконечно малым изменением поля$\phi_i$при рассматриваемой симметрии. Обратите внимание, что это сводится к$\langle \partial_\mu j^\mu\rangle = 0$в случае$n=0$.

Важно различать локальные и глобальные симметрии. «Теорема Нётер» обычно относится к ее теореме о том, что каждая непрерывная глобальная симметрия соответствует сохраняющемуся току. Но доказательство теоремы требует использования классических уравнений движения, поэтому в квантовом случае оно неверно. (Точнее, существуют конфигурации поля, в которых заряд не сохраняется и которые вносят вклад в интеграл по путям.) Кроме того, как указывает Аарон, квантовые аномалии могут нарушать классическую симметрию и приводить к несохранению сохраняющегося тока (например, вакуумные уравнения Максвелла демонстрируют конформную симметрию, которая аномальна в КЭД и, следовательно, не выполняется).

Но локальные (или «калибровочные») симметрии — совсем другое дело. Эти симметрии сохраняются даже без допущения классических уравнений движения (т.е. как «на оболочке», так и «вне оболочки»). Все конфигурации полей, вносящие вклад в интеграл по путям, соблюдают эти симметрии. Калибровочные симметрии (например,$\text{U}(1)$приведенный вами пример) также соответствуют сохраняющимся величинам, но они сохраняются всегда , даже с учетом квантовых флуктуаций. (Калибровочные симметрии также могут быть аномальными, но вместо того, чтобы просто приводить к нарушению сохранения сохраняемой величины, аномальные калибровочные симметрии в первую очередь мешают вам последовательно квантовать вашу теорию, поэтому они «ломают» всю теорию.)