Действия Намбу-Гото и Полякова

Это может быть немного технический вопрос, так что потерпите меня. Итак, из теории струн мы знаем, что действие для релятивистской струны находится на мировом листе, когда мы встраиваем струну в пространство-время, и поэтому мы получаем

$$S_{Nambu-Goto}=T \int d^2 \sigma \sqrt{h_{\alpha \beta}}$$ где $h_{\alpha \beta} = \eta_{\mu \nu} \partial_{\alpha} X^{\mu} \partial_{\beta} X^{\nu},$производные, взятые по координатам мирового листа $\sigma^{\alpha}=(\tau, \sigma)$.

Это все хорошо, а потом мы хотим избавиться от этого уродливого квадратного корня, поэтому вводим вспомогательную переменную$\gamma_{\alpha \beta}$и написать

$$S_{Polyakov}= \frac{T}{2} \int d^2 \sigma \sqrt {\gamma} \gamma^{\alpha \beta} h_{\alpha \beta}$$ При варьировании действия по отношению к $\gamma_{\mu \nu}$чтобы найти EOM, вы получаете $\gamma_{\alpha \beta}=h_{\alpha \beta},$так что эта вспомогательная переменная является просто индуцированной метрикой, и при замене все упрощается до действия Намбу-Гото.

Мой вопрос в том, что во время создания EOM вам, конечно, пришлось изменить действие, что дало вам (это просто цепное правило)

$$\delta S_P =\bigg[ \frac{\partial \sqrt{\gamma}}{\partial \gamma_{\mu \nu}} (\gamma^{\alpha \beta} h_{\alpha \beta} ) + \sqrt {\gamma} \Big( \frac{\partial \gamma^{\alpha \beta}}{\partial \gamma_{\mu \nu}} h_{\alpha \beta} \Big) \bigg] \delta \gamma_{\mu \nu}$$ При вычислении $\frac{\partial \sqrt {\gamma}}{\partial \gamma_{\mu \nu}}$, я получил это: $$\frac{\partial \sqrt {\gamma}}{\partial \gamma_{\mu \nu}} = \frac{1}{2 \sqrt{\gamma}} \frac{\partial (det \gamma)}{\partial \gamma_{\mu \nu}}$$ Затем я использую формулу Якоби, которая говорит, что $$\frac{\partial (det \gamma)}{\partial \gamma_{\mu \nu}} = \gamma \cdot tr \Big( \gamma^{\alpha \beta} \frac{\partial \gamma_{\alpha \beta}}{\partial \gamma_{\mu \nu}} \Big) = \gamma \cdot tr (\gamma^{\alpha \beta} \delta_{\alpha}^\mu \delta_{\beta}^\nu) = \gamma \cdot tr(\gamma^{\mu \nu})$$ Это часть, которая поставила меня в тупик. В книге сказано, что ответ на этот вопрос должен быть $$\delta \gamma = \gamma \gamma^{\nu \mu} \delta \gamma_{\mu \nu}$$ Однако я получаю этот результат выше, т.е. $$\delta \gamma = \gamma tr (\gamma^{\mu \nu}) \delta \gamma_{\mu \nu}$$ Как $tr(\gamma^{\mu \nu}) = \gamma^{\nu \mu}$или я просто пропускаю глупую ошибку.

Кстати, я использую тот факт, что$\delta f(x) = \frac{df(x)}{dx}\delta x$как вы видели, чтобы найти вариант. Извините, если это может быть глупый вопрос, я только изучал GR, когда наткнулся на приложение с этим и заинтересовался!