Действие Эйнштейна-Гильберта в оболочке

Это правда. Но мой вопрос более общий. Предположим, кто-то рассматривает действие Эйнштейна-Гильберта-Максвелла. Тогда будет два уравнения движения, одно для метрики и одно для калибровочного поля. Какой тогда будет форма действия на оболочке?

Тогда уравнения движения будут связаны: из-за члена Максвелла это уже не вакуумное решение. В этом случае EE становится $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}$и уравнения Максвелла становятся $D_{\mu}F^{\mu\nu}=0$. Если, например, мы рассматриваем только электрические поля в четырех измерениях, решение дает метрика Рейсснера Нордстрема вместе с $A_0=-Q/r+\Phi$, где $Q$заряд черной дыры и $\Phi$постоянно. Как оказалось, ЭМ-тензор в этом конкретном случае бесследен, так что $R=0$снова.

На самом деле справедлив более общий результат: ЭМ-тензор для полей Максвелла равен $T_{\mu\nu}=F_{\mu\rho}F_{\nu}^{\rho}-\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$, так ясно $T_{\mu}^{\mu}=0$в четырех измерениях. Следовательно $R=0$для действия Эйнштейна-Гильберта-Максвелла (но только в 4-х измерениях!), так что у вас останется только часть Максвелла на оболочке.