Дивергентное решение нестационарного уравнения Шредингера

----отредактировано, как было предложено в комментариях----

Функция ψ(t,x) не интегрируема с квадратом по времени. Таким образом, его преобразование Фурье может иметь смысл только в смысле распределения. Вы рассматриваете распределение (относительно ω) как функцию, а затем решаете ОДУ относительно x. В общем случае это невозможно, так как распределения не ведут себя как функции (например, вы не можете определить произведение распределений).

Чтобы найти решение, вы действуете очень стандартно следующим образом. Рассмотрим оператор$-\Delta$: он самосопряжен на плотной области$L^2(\mathbb{R}^d)$(при условии, что вы находитесь в$d$размеры), и, таким образом, ему может быть поставлена ​​в соответствие единая однопараметрическая группа$\exp(it\Delta)$(здесь я предполагаю$m$и$\hbar$быть половина и один соответственно, для простоты). Эта унитарная группа с одним параметром определена для всех функций$L^2$, так дано$\psi(t_0,x)=\psi_0(x)\in L^2(\mathbb{R}^d)$, решение вашей задачи Коши

$$\psi(t,x)=e^{i(t-t_0)\Delta}\psi_0(x)\; .$$ Если взять пространственное преобразование Фурье (в $x$), то есть еще одно унитарное преобразование на $L^2$, вы получите, возможно, более явную формулу $$\hat{\psi}(t,k)=e^{-i(t-t_0)k^2}\hat{\psi}_0(k)$$ где $\hat{\psi}$является преобразованием Фурье $\psi$.