Добавляются ли спины, когда частицы объединяются симметрично?

Обычно в симметричной части будет больше, чем просто сумма.

Например, объединение двух систем со спином 1 создаст симметричные состояния с$L=2$и$L=0$но антисимметричное состояние с$L=1$. Вы можете проверить это свойство симметрии при перестановке из симметрии соответствующих коэффициентов Клебша-Гордона.

Если вы объедините$4$частицы, все из которых имеют$s=1$, то симметричная часть муфты будет содержать$L=4, L=2$и$L=0$состояния.

Что верно, так это то, что если вы возьмете$n$копии основного ( или определяющего) представления$U(N)$или$SU(N)$ $(1,0,\ldots,0)$, то полностью симметричная часть будет нести неравенство$(n,0,\ldots,0)$. По двойственности Шура-Вейля это будет единственный полностью симметричный иррепрезентант.

Результат относится к приему$n$копии$s=1/2$состояний, поскольку они преобразуются определяющим представлением$SU(2)$. Но это не относится к тензорам невозвратов, для которых$s\ne 1/2$, как показывает приведенный выше пример.

Кроме того, по двойственности Шура-Вейля окончательный$j$значение, симметрия перестановки и количество копий$j$для состояний в каждой тензорной части n-кратного тензорного произведения фундаментального представления полностью определяется двойственностью Шура-Вейля.

Поскольку мы не можем так легко рисовать диаграммы Юнга, я буду использовать для иллюстрации разбиения. Принимая$n=4$копии$s=1/2$спиновые состояния или$n=4$копии основных$(1,0)$из$su(3)$дает

$$\begin{align} \begin{array}{cccccc} \hbox{partition}&\hbox{# of copies}&\hbox{$su(2)$ irrep $j$}&\hbox{$su(3)$ irrep $(\lambda,\mu)$}& su(3)\supset so(3)&\\ \{4\} & 1&2& (4,0) & L=4\oplus 2\oplus 0&\hbox{fully symmetric}\\ \{3,1\} & 3&1& (2,1)& L=3\oplus 2\oplus 1\\ \{2,2\} & 2&0& (0,2)& L= 2\oplus 0\\ \{2,1,1\} &3 &\hbox{does not exist}& (1,0)&L=1 \end{array} \end{align}$$

В таблице показано разложение$(1/2)^{\otimes 4}$или$(1,0)^{\otimes 4}$для основ$su(2)$или$su(3)$. Разделы связаны с диаграммой Юнга$S_4$который однозначно помечает ирреп$S_4$и, таким образом, определяет свойства перестановки результирующих спиновых состояний или$su(3)$состояния.

Разбивая на правильно симметричные части$n$-кратное тензорное произведение иррепа, которое не является фундаментальным, требует методов функции Шура.

Да, максимально возможный спин всегда прибавляет. Физически это происходит потому, что вы можете просто заставить все спины частиц указывать в одном направлении, а угловой момент добавляется.

С математической точки зрения предположим, что у нас есть две частицы со спином$s_1$и$s_2$, с операторами углового момента$\mathbf{L}_1$и$\mathbf{L}_2$. Тогда определение оператора полного углового момента имеет вид

$$\mathbf{L} = \mathbf{L}_1 \otimes I_2 + I_1 \otimes \mathbf{L}_2.$$ Теперь рассмотрим состояния с максимальным угловым моментом вдоль $z$ось, удовлетворяющая $$L_1^z |m^\text{max}_1 \rangle = (\hbar s_1) |m^\text{max}_1 \rangle, \quad L_2^z |m^\text{max}_2 \rangle = (\hbar s_2) |m^\text{max}_2 \rangle.$$ Тогда государство $|m_1^\text{max} \rangle \otimes |m_2^\text{max} \rangle$является собственным вектором $L^z$с собственным значением $\hbar (s_1 + s_2)$. Это говорит нам о том, что есть набор спинов $s_1 + s_2$состояния, по желанию. (Конечно, все вышеизложенное — буквально просто многословный способ записи «прибавления углового момента».)