Каково значение групп Ли SO(3)SO(3)SO(3) и SU(2)SU(2)SU(2) для физики элементарных частиц?

Ссылки QuantumMechanic раскрывают головокружительное множество значений для$SU(2)$в физике, поэтому ваш вопрос, вероятно, окажется слишком широким для простого ответа. Тем не менее, мне нравится это и подобные вопросы, которые нащупывают содержательные обзоры вещей, поэтому я постараюсь ответить на них с пониманием моего нефизика частиц.

Вероятно, «основной» смысл$SU(2)$вы обнаружите, что это калибровочная группа (или очень нетривиальная часть) некоторых теорий типа Янга-Миллса (см. Вики-страницу Янга-Миллса ), а именно:

1. The $SU(2) \times SU(1)$калибровочная группа электрослабого взаимодействия (см. Вики-страницу с таким названием) . Здесь три ортонормированных (по форме Киллинга) базисных вектора алгебры Ли$SU(2)$соответствуют трем W-бозонам.
2. Изоспиновая симметрия (см. Вики-страницу «Изоспин» . Группа приближенных симметрий, оставляющая инвариантным гамильтониан сильного взаимодействия, сформулированный Гейзенбергом в 1932 году. Протон и нейтрон «живут» в фундаментальном представлении$SU(2)$(Я предполагаю, что вы математик — так что, если вы еще не поняли это, физики обычно имеют в виду векторное пространство, в котором действуют изображения членов группы в представлении, как «представление» — мне потребовалось некоторое время, чтобы понять это), тогда как три пиона живут в присоединенном представлении$SU(2)$, т. е. преобразуются соответствующими членами$SO(3)$. Протоны и нейтроны имеют спин$1/2$, являясь спинорами, и их можно рассматривать как базисные векторы для$\mathbb{C}^2$пространство состояний, на которое действует член группы$\gamma$просто через$X\in\mathbb{C}^2\mapsto \gamma\,X$. Три нейтральных пиона являются базисными векторами в$\mathbb{R}^3$пространство состояний, на которое действует$Y\in\mathbb{R}^3\mapsto\mathrm{Ad}(\gamma)\,Y$.

В случае калибровочных теорий мое понимание их важности (типа Янга-Миллса с конечномерной структурной группой) содержится в этом ответе . Если вы, как и я, медленно соображаете, вам может понадобиться, чтобы кто-то указал вам, что «все, что мы делаем» при построении калибровочной теории — это построение расслоения на физической наблюдаемой теории , а калибровочная группа — это ничто. больше, чем структурная группа пучка волокон: мы помещаем волосы в теорию и смотрим, какие красивые косички мы можем сплести из них. (Да, я действительно нуждался в том, чтобы кто-то указал мне на это в явном виде, хотя я неплохо разбираюсь в пучках волокон!) Но зачем мы это делаем, т.е.на первый взгляд, добавить сложности, когда казалось бы, что целью физики является упрощение вещей, а не приукрашивание их (сложность)? Здесь есть два ответа:

1. Известна классическая калибровочная теория - электромагнетизм Максвелла с$U(1)$симметрия — любопытную калибровочную симметрию которой мы стремимся применить к другой физике, точно так же, как аналогию с математической физикой «соси и смотри»;

2. Существуют либо (i) экспериментально наблюдаемые непрерывные симметрии, либо (ii) сохраняющиеся величины в физически наблюдаемых процессах, поэтому мы добавляем расслоение как способ порождать эти симметрии или сохраняющиеся количества в теории. В случае наблюдаемых сохраняющихся величин эта процедура работает на основе теоремы Нётер., но важно понимать, что следствием теоремы Нётер является только одно: лагранжиан с непрерывными симметриями подразумевает такое же количество сохраняющихся величин, но сохраняющаяся величина не обязательно подразумевает непрерывную симметрию. Опять же, это хреновый подход — мы знаем один способ заставить сохраняющуюся величину в теории — а именно: добавление расслоения или калибровочной симметрии — так что мы пробуем его и смотрим, что происходит, и получается так, что экспериментально теории построенные таким образом, работают достаточно хорошо (Стандартная модель).

Другие ресурсы, которые я нашел полезными, особенно если вы еще не углубились в калибровочные теории, следующие:

1. Джон К. Баез и Джон Уэрта, «Алгебра теорий Великого объединения»
2. Джерард т Хофт «Группы Ли в физике».
3. Блог Терренса Тао "Что такое датчик?"
4. Страница Википедии «Калибровочная теория»
5. Страница Википедии «Введение в калибровочную теорию»
6. Краткое изложение Нобелевской лекции Джерарда т Хофта 1999 г.
7. Соответствующие главы в книге Роджера Пенроуза «Дорога к реальности» (сейчас у меня ее нет).

Я нашел здесь неоценимыми первые две статьи Баеза/Уэрты и 'т Хофта. Как я уже сказал, я не физик элементарных частиц, но после прочтения этого я чувствую, что могу, по крайней мере, следить за многими дискуссиями в этой области, не слишком много (скажем, <80%) не выходя из головы. Благодаря Джону Баезу и его замечательной литературе, я думаю, что увядание в доме престарелых не будет таким уж плохим, если к тому времени я еще смогу читать! (это не в ближайшее время BTW). Я считаю, что почти все, что написано Баэзом, 'т Хофтом и Пенроузом о физике и ее связи с математикой, заслуживает прочтения. На веб-странице Джерарда т Хофта было (вероятно, все еще есть) отличное введение в калибровочную теорию .но на самой веб-странице немного сложно ориентироваться, и я не могу найти ее в данный момент - я полагаю, что такая дезорганизация неизбежна для кого-то столь полиматематического, как 'т Хофт, который хочет поделиться таким большим количеством разнообразного материала.

Но, может быть, самый глубокий, простой и (для меня самый красивый) смысл всего для$SO(3)$а также$SU(2)$представляет собой простое отношение между двумя группами, одна из которых является универсальной оболочкой другой (см. мой ответ здесь) , как косвенно научил меня семилетний мальчик (глубина физического значения, а не свойство универсальной оболочки ), когда я демонстрировал трюки с поясом Дирака и трюки с чашкой в ​​школе моей дочери, и он задал вопрос: «Вы можете сделать более причудливое расположение лент, чтобы вам нужно было вращать ее [куклу] три раза, а не два, чтобы вернуться к начало?" (Я использую куклу на ленте, а не просто отмеченную карточку с детьми, потому что, будучи социальными животными, мы жестко запрограммированы на узнавание лица, поэтому с куклой безошибочно отслеживать вращения. Многие маленькие дети примерно шести лет лет и старше находят трюк с поясом действительно увлекательным,

Меня очень впечатлил его вопрос, и я хотел бы ответить ему лучше. Но что касается частиц, то ответ тот же: решительное нет: существуют только полуцелые спины, а не спины.$1/3$и так далее, потому что$SU(2)$является универсальным покрытием$SO(3)$. В Мире есть только бозоны и фермионы, и отношение двойного покрытия между$SO(3)$а также$SU(2)$вот почему — «односвязное топологическое пространство не допускает нетривиальных покрытий», цитируя У. С. Мэсси, «Алгебраическая топология: введение» — так что универсальное покрытие — это все! Трюк с ремнем работает, потому что эволюция кадров Серре-Френе вдоль скрученной ленты кодирует непрерывный путь через$SO(3)$от тождества к преобразованию, определяемому ориентацией куклы в пространстве, поэтому лента точно кодирует гомотопический класс этого пути . Если вы можете зациклить ее на кукле (непрерывно деформировать путь) и отменить повороты, лента по-прежнему будет кодировать один и тот же гомотопический класс. Трюк с поясом — это точная физическая аналогия математической процедуры построения универсального покрытия. Итак, это скромное замечание об отношениях между$SO(3)$а также$SU(2)$объясняет все следующее:

1. Другого оборота нет$1/3$или любой$1/N$Помимо$1/2$, ленты, реализуемые в трюке с поясом Дирака;

2. Спиноры и тензоры исчерпывают список всего, что трансформируется совместимо с поворотами . На самом деле идея расширяется от$SO(3)$с$SO(2)$отношение к общим собственным преобразованиям Лоренца: мы добавляем бусты в смесь и получаем компонент связности с тождеством группы Лоренца$O(3,1) \cong PSL(2, \mathbb{C}) \cong \operatorname{Aut}(\mathbb{C})$(последнее является группой обратимых преобразований Мёбиуса), а двойное покрытие этого зверя есть$SL(2, \mathbb{C})$, так что спиноры и тензоры исчерпывают список всего, что трансформируется совместимо с поворотами, бустингами и их общими комбинациями; а также

3. В Мире есть только бозоны и фермионы - т.е. только частицы с полуцелым или целым числом спинов.

На самом деле я нахожу эти простые отношения маленькой жемчужиной. В главе 17 третьего тома «Фейнмановских лекций по физике» есть сноска, где Фейнман говорит, что пытался найти простую демонстрацию того, что существуют только полуцелые спины, и потерпел неудачу: «Нам придется поговорить об этом». с профессором Вигнером, который знает все о таких вещах»!, — заканчивает он сноску. Я скорее думаю, что Фейнман, исходя из того, что я знаю о его работах и ​​чувстве юмора, был бы рад получить объяснение, предложенное ему семилетним ребенком, будь он жив.

Наконец, я хотел бы упомянуть, как$SU(2)$а также$SO(3)$проявиться в моей собственной области оптики и электромагнетизма. Это не совсем то, что люди обычно подразумевают под «физикой элементарных частиц», но это приложение к физике фотона. Общее состояние поляризации одномодового электромагнитного поля$\Psi = \left(\begin{array}{c}\psi_+\\\psi_-\end{array}\right)$может быть закодировано двумя комплексными амплитудами, по одной для каждого базового состояния круговой поляризации (или амплитудами двух векторов Римана-Зильберштейна для данного волнового вектора, как обсуждается в моем ответе здесь ). Преобразователь поляризации без потерь (волновая пластина, зеркальная система и т. д.) должен обеспечивать общее унитарное преобразование этих двух амплитуд, поскольку сумма их квадратов величин представляет собой мощность волны. Часто мы не беспокоимся о фазе, которая является общей для обоих собственных состояний поляризации, поэтому мы можем думать о матрице нашего поляризационного преобразователя как о живущей в$SU(2)$скорее, чем$U(2) \cong SU(2) \otimes U(1)$, но исчисление Джонса на самом деле обрабатывает$U(2)$также:

$$\Psi \mapsto \Psi^\prime = \mathbf{U}\,\Psi;\;U\in SU(2)$$

В контексте,$\mathbf{U}$называется матрицей Джонса трансформатора . Мы также можем представить состояние поляризации параметрами Стокса:

$$s_j(\Psi) = \Psi^\dagger \sigma_j \Psi$$ $$\begin{array}{l} s_0 = \Psi^\dagger\,\Psi = |\Psi|^2\\ s_1 = 2 \operatorname{Re}(\psi_+^*\,\psi_-)\\ s_2 = 2 \operatorname{Im}(\psi_+^*\,\psi_-)\\ s_3 = |\psi_+|^2 - |\psi_-|^2 \end{array}$$

куда$\sigma_j$— спиновые матрицы Паули (здесь$\sigma_j;\,j=1,\,2,\,3$- матрицы на странице Wiki Matrix Паули и$\sigma_0$это$2\times2$личность);$i\,\sigma_j;\,j=1,\,2,\,3$конечно пролет$\mathfrak{su}(2)$а также$i\,\sigma_j;\,j=0,\,1,\,2,\,3$охватывать$U(2)$. Это определение параметров Стокса немного отличается от того, которое обычно дается в оптике ( например , раздел 1.4 Борна и Вольфа, «Принципы оптики», шестое издание ); есть неважный знаковый переключатель и перенумерация. Спиновые матрицы Паули$i \sigma_1,\,i \sigma_2,\, i \sigma_3$являются основой для$\mathfrak{su}(2)$а также$U$можно записать как$U = \exp(-i \theta \sum \gamma_j \sigma_j/2);\;\theta,\,\gamma_j\in\mathbb{R},\;\sum\gamma_j^2 = 1$. Если системный вход$\Psi$, то после преобразования$U$, его параметры Стокса преобразуются спинорным отображением:

$$s_k = \Psi^\dagger U^\dagger \sigma_k U \Psi = \Psi^\dagger U^{-1} \sigma_k U \Psi = - i \Psi^\dagger \exp\left(i \frac{\theta}{2} \sum_j \gamma_j \sigma_j\right) i \sigma_k \exp\left(-i \frac{\theta}{2} \sum_j \gamma_j \sigma_j\right) \Psi$$

или, альтернативно, единичная сфера векторов Стокса$(s_1,\,s_2,\,s_3)^T$преобразуется именно вращением$\exp(\theta \,\mathbf{H})$матрица, соответствующая$\mathbb{U}$когда последний отображается стандартным гомоморфизмом присоединенного представления:

$$\exp(\theta \,\mathbf{H}) = \exp\left(\theta \left(\begin{array}{ccc}0&\gamma_z&-\gamma_y\\-\gamma_z&0&\gamma_x\\\gamma_y&-\gamma_x&0\end{array}\right)\right)$$

так что мы можем визуализировать изменения состояния поляризации как вращения единичной сферы, пока мы счастливы быть слепыми к разнице между преобразованием$\mathbf{U}$и его отрицательный$-\mathbf{U}$, т.е. мы рады видеть только смежные классы ядра этого гомоморфизма.

Небольшим обобщением этой процедуры является использование исчисления Мюллера (см. Вики-страницу «Исчисление Мюллера» , которое является замаскированной записью матрицы плотности и может иметь дело с частично поляризованными световыми состояниями, которые являются классическими статистическими смесями чистых квантовых состояний. Я описываю это аспект исчисления Мюллера в моем ответе здесь .

Я вставлю здесь введение экспериментаторов в SU(2) и SU(3).

Еще в шестидесятых мы систематизировали захватывающие резонансные данные, которые мы получили из множества экспериментов, в спиновые полюса Редже . Спин был организован в мультиплеты SU (2) после изучения ядерной физики, а аналог был распознан в изотопическом спине (протон вверх, нейтрон вниз) и широко использовался для открытия новых частиц. Таким образом, спин и изотопический спин, т. е. SU(2), имели раннее значение для экспериментальной физики, на котором могли быть основаны любые более обширные теории.

Затем пришло откровение о восьмеричном пути,

Мезонный октет. Частицы вдоль одной и той же горизонтальной линии имеют одинаковую странность s, а частицы на одних и тех же диагоналях имеют одинаковый заряд q.

В то время было очень интересно увидеть, что мезоны, кропотливо организованные в SU(2)-мультиплеты, обладали дополнительной симметрией при использовании нового квантового числа, симметрии, которой прекрасно соответствовали мультиплеты SU(3)-групп. Группы стали очень важными для организации физических данных и были входными данными для теоретических основ, которые могли бы описать эти данные после 1970 года. Таким образом, более высокие группы, такие как SO (3), были исследованы и / или использованы.