Доказательство напряженности электрического поля из-за бесконечного проводящего листа

Я читаю доказательство электрического поля из-за большого равномерно заряженного листа. Это дается как

Рассмотрим элементарную полосу шириной$dx$На расстоянии$x$с точки$O$. Линейная плотность заряда$\lambda=\sigma dx\tag{1}$где$\sigma$- поверхностная плотность заряда листа.
Электрическое поле при$P$является$E_P=dE\cos\theta$
$dE=\frac{2k\lambda}{\sqrt{x^2+r^2}}$
Так,$E_P=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2k\sigma xdx}{x^2+r^2}$
Это дает$E_P=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}$

Я понял все доказательства. Но я сомневаюсь, что как мы пришли к$(1)$.
Я пытался найти его как
Предположим, мы берем элемент полосы длины$dy$и ширина$dx$.
Итак, заряд на нем есть$\lambda\times length=\lambda dy\tag{2}$
Если мы посмотрим на это с точки зрения листа, то заряд на элементе равен$\sigma dxdy$
Тогда, если мы приравняем его
$\lambda dy=\sigma dxdy$
Мы получаем$\lambda =\sigma dx$

Но проблема в том, почему мы берем заряд на элемент полосы шириной$dx$быть$\lambda dy$. Потому что при линейном распределении заряда мы игнорируем ширину этого элемента, принимая во внимание только длину (если расстояние, на котором должно быть рассчитано электрическое поле, очень велико по сравнению с шириной элемента). Но выражение электрического поля справедливо для всех расстояний. Итак, как мы приравниваем его к$\sigma dxdy$?
Расскажите, пожалуйста, как именно$(1)$приходит.