Доказательство теоремы Голдстоуна

Question

Доказательство теоремы Голдстоуна

Ник Мерфи

Я читаю замечательную книгу Мэтью Шварца по QFT, но я споткнулся в своих попытках понять его довольно краткое доказательство теоремы Голдстоуна. Предварительная информация такова

\begin{matrix} (28,7) & ЧАС Вопрос | Ом ⟩ "=" Е_{0} Вопрос | Ом ⟩, \end{matrix}

$HQ|\Omega\rangle= E_0Q|\Omega\rangle,\tag{28.7}$ где

Q

$Q$ - сохраняющийся заряд, соответствующий спонтанно нарушенной симметрии

\begin{matrix} (28,5) & Вопрос \equiv \int д^{3} Икс {Дж}^{0} (Икс) . \end{matrix}

$Q\equiv\int d^3x\;j^0(x).\tag{28.5}$ Это отлично. Однако из этого он утверждает, что можно создавать государства

\begin{matrix} (28,8) & | π (\vec{п}) ⟩ \equiv \frac{- 2 я}{Ф} \int д^{3} Икс е^{- я \vec{п} \cdot \vec{Икс}} {Дж}^{0} (Икс) | Ом ⟩ \end{matrix}

$|\pi(\vec{\bf{p}})\rangle\equiv\frac{-2i}{F}\int d^3x e^{-i\,\vec{\bf{p}}\cdot\vec{\bf{x}}}j^0(x)|\Omega\rangle\tag{28.8}$ которые имеют энергию

E (\vec{p}) + E_{0}

$E(\vec{\bf{p}}) + E_0$ . Если это так, то ясно, что состояние должно подчиняться закону безмассовой дисперсии. Однако я не понимаю, как можно определить энергию, которая должна быть

E (\vec{p}) + E_{0}

$E(\vec{\bf{p}}) +E_0$ .

Я видел подобное доказательство на с. 228 в книге Зи, но там в сноске 3 он показывает, что

{\hat{п}}^{я} | π (п) ⟩ "=" п^{я} | π (п) ⟩,

$\hat{P}^i|\pi(p)\rangle = p^i|\pi(p)\rangle,$ что не совсем то же самое, хотя и имеет тот же смысл. Есть идеи?

Адам

Вы пытались использовать разложение

j_{0}

$j_0$ с точки зрения операторов создания/уничтожения?

Ник Мерфи

Что ж, думаю, я мог бы сделать это явно в терминах операторов для простого сложного скалярного поля, но он утверждает, что в целом это верно.

Космас Захос

Связанные .

Ответы (2)

Доказательство теоремы Голдстоуна

Вы пытались использовать разложение $j_0$ с точки зрения операторов создания/уничтожения?
Что ж, думаю, я мог бы сделать это явно в терминах операторов для простого сложного скалярного поля, но он утверждает, что в целом это верно.

Космас Захос · Answer 1

Я думаю, что вы неправильно поняли знак экспоненты в (28.8) Шварца, который я переворачиваю, но я небрежно отношусь к знакам и факторам, поскольку я предполагаю, что вы просто хотите увидеть принцип (лес, а не деревья).

Ключевым моментом является то, что ток SSB в основном всегда имеет вид $j_\mu(x)\propto F \partial_\mu \pi (x) +...$ где пропущенные члены имеют более высокий порядок в полях (и поэтому не вносят вклад в определенное состояние частицы); и, конечно же, опущены групповые индексы.

Это кодифицировано в названии «Нелинейная реализация симметрии Намбу-Голдстоуна». Это единственный способ добиться того, чтобы vev преобразования этого поля Голдстоуна не обращались в нуль, в то время как vev всех полей сами по себе обращаются в нуль — после переопределений сдвига. (См. этот ответ .) Это проиллюстрировано позже в (28.13).

Преобразование Фурье поля Голдстоуна π имеет вид

π (\vec{п}) "=" \frac{- 2 я}{Ф} \int д^{3} Икс е^{я \vec{п} \cdot \vec{Икс}} {Дж}^{0} (Икс),

$\pi(\vec{\bf{p}}) = \frac{-2i}{F}\int d^3x ~e^{i\,\vec{\bf{p}}\cdot\vec{\bf{x}}}j^0(x),$
с

[ЧАС, π (\vec{п})] "=" Е (\vec{п}) π (\vec{п}) .

$[H,\pi(\vec{\bf{p}})] = E(\vec{\bf{p}}) ~ \pi(\vec{\bf{p}}) .$ Заряд SSB Q по существу является пространственным интегралом канонического импульса π , так что

⟨ Ω | [Q, \int d^{3} p π (\vec{p})] | Ω ⟩ \propto F \neq 0

$\langle \Omega |[Q,\int d^3 p ~ \pi(\vec{\bf{p}})]|\Omega\rangle \propto F\neq 0$ , ср. его (28,9).

Как следствие, распаковка одного вкладыша вашего текста,

ЧАС | π (\vec{п}) ⟩ "=" ([ЧАС, π (\vec{п})] + π (\vec{п}) ЧАС) | Ом ⟩ "=" (Е (\vec{п}) + Е_{0}) π (\vec{п}) | Ом ⟩ "=" (Е (\vec{п}) + Е_{0}) | π (\vec{п}) ⟩,

$H|\pi(\vec{\bf{p}})\rangle= ( [H,\pi(\vec{\bf{p}})] + \pi(\vec{\bf{p}}) H ) ~|\Omega\rangle = ( E(\vec{\bf{p}}) + E_0 )\pi(\vec{\bf{p}})|\Omega\rangle= ( E(\vec{\bf{p}}) + E_0 )|\pi(\vec{\bf{p}})\rangle ,$ так

E (0) \to 0

$E(0)\to 0$ .

Тем не менее, для более традиционного общего доказательства теоремы, минуя вашу ловушку восприятия, рассмотрите резюме Киббла .

Как бы вы это доказали $[H,\pi(\vec p)]=E(\vec p)\pi(\vec p)$ ?
Это стандартное второе выражение квантования... Я уверен, что текст описывает его в предыдущих главах...
Это был бы стандартный 2-й кв. выражение, если $\pi(\vec p)$ были стандартным оператором создания. Но здесь $\pi(\vec p)$ определяется из $j^0$ , поэтому далеко не ясно, удовлетворяет ли он стандартным выражениям или нет. В принципе, должно быть возможно доказать, что $[H,\pi]=E\pi$ из свойств $j^\mu$ самостоятельно, то есть из $\partial\cdot j=0$ и, возможно, что-то еще, чего мне сейчас не хватает.
В этом суть. Для реализации NG ток равен градиенту стандартного полевого оператора, умноженному на постоянную затухания F — так и должно быть.
Спасибо @CosmasZachos! Однако я немного сбит с толку так же, как и @AccidentalFourierTransform. Я не понимаю, как следует это коммутационное соотношение.
Я не уверен, сколько скрытой конструкции канонической структуры для π, если так определено , вам требуется. Для большинства из нас, как я уже говорил, $j_\mu\sim F \partial_\mu \pi +...$ достаточно. Резюме Киббла, на которое я ссылаюсь, не опирается на канонические поля, но, в отличие от конденсированной материи, физики элементарных частиц предполагают стандартные канонические поля, которые охватывает иллюстрация Мэтта: это скорее иллюстрация, чем доказательство, если это то, что вы ищете для уверенности. на.

рволд · Answer 2

Думаю, это следует из уравнения движения Гейзенберга для $\pi$ :

я \partial_{т} π "=" [π, ЧАС]

$i\partial_t \pi = [\pi, H]$ Подсчитав это, я обнаружил, что это работает, если

1) его соглашение о знаках таково, что коэффициент E в показателе степени равен -i, так что $i\partial_t$ снижает фактор -E

2) $H|\Omega\rangle =0$

3)Возможно, я ошибаюсь, но похоже, что в вашем уравнении отсутствует множитель $Q$ так что

ЧАС Вопрос | Ом ⟩ "=" Е_{0} Вопрос | Ом ⟩

$HQ|\Omega\rangle = E_0 Q|\Omega\rangle$ - в противном случае мне будет трудно получить собственные энергетические состояния здесь.

да, спасибо, вы правы насчет опечатки. На самом деле я также испортил коэффициент -2i / F, который я изменил сейчас в вопросе. Это объясняет испорченный знак с энергией. Большое спасибо за ответ! Однако я не думаю, что H|omega> =0, должно быть равно E_0|omega>.
Так $E_0$ энергия вакуума... Что такое F?
Да, именно E_0 - это энергия вакуума. Я думаю, что F - это просто константа с массовым измерением, равным 1, чтобы придать всему нужные размеры. Текущий имеет размерность 2, и я думаю, вы хотите, чтобы поле пи имело размерность 1, потому что оно должно быть скаляром.
Привет @rwold, снова смотрю на это, я не понимаю, как все это работает. Есть ли шанс, что вы могли бы быть немного более откровенным? Еще раз спасибо!

Доказательство теоремы Голдстоуна

Ник Мерфи

Адам

Ник Мерфи

Космас Захос

Ответы (2)

Космас Захос

СлучайныйПреобразование Фурье

Космас Захос

СлучайныйПреобразование Фурье

Космас Захос

Ник Мерфи

Космас Захос

рволд

Ник Мерфи

рволд

Ник Мерфи

Ник Мерфи

Что означает квадратный корень из лапласиана?

Представляют ли оператор симметрии UUU и его генератор QQQ, действующие на вакуум |0⟩|0⟩|0\rangle, новый вырожденный вакуум?

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Простое моделирование QFT - как это сделать

Почему корреляционные функции определяются только как упорядоченные по времени?

Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

О доказательстве Ициксона и Зубера теоремы Голдстоуна

Образуют ли лестничные операторы aaa и a†a†a^\dagger полный базис алгебры?