Доказательство уравнения емкостного реактивного сопротивления

Question

Доказательство уравнения емкостного реактивного сопротивления

Физика
конденсатор
реактивное сопротивление

Симона

У меня есть сомнения относительно соотношения разности потенциалов и тока конденсатора.

{Икс}_{с} "=" \frac{в}{я} "=" \frac{1}{ю С}

$X_c = \frac{v}{i} = \frac{1}{\omega C}$

Если у меня синусоидальная разность потенциалов

в "=" В_{М} с я н (ю т)

$v = V_Msin(\omega t)$ и отношение емкости

я "=" С \frac{г в (т)}{г т}

$i = C\frac{dv(t)}{dt}$ так

я "=" ю С В_{М} с о с (ю т)

$i = \omega CV_Mcos(\omega t)$ окончательно

X_{c}

$X_c$ должно быть

{Икс}_{с} "=" \frac{В_{М} с я н (ю т)}{ю С В_{М} с о с (ю т)} \neq \frac{1}{ю С}

$X_c = \frac{V_M sin(\omega t)}{\omega CV_M cos(\omega t)} \neq \frac{1}{\omega C}$ В чем дело?

полвел

Знакомы ли вы с выражением колеблющихся величин в виде комплексных чисел? Импеданс конденсатора является мнимым числом.

Симона

Так почему же значение тангенса не учитывается?

Только я

Хотя sin(x)/cos(x) равно tan(x), здесь это не имеет особого смысла. Что вам может быть интересно, заметив, что sin(x) и cos(x) имеют разность фаз 90 градусов, что может помочь вам двигаться вперед.

Всплеск напряжения

Если это комплексное число, информация о фазе и амплитуде объединяется. Только когда вы берете модуль или фазу комплексного числа, их можно рассматривать отдельно.

придурок

@Simone, проблема в том, что вам не хватает определения реактивного сопротивления для того, как его следует применять. Как это предполагается применять, вы должны воспринимать это как

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}2$ не в фазе. (Для индуктивности, наоборот, не в фазе.) Это не в фазе с сопротивлением. Вы не включили дополнительный фазовый термин, который потребуется при интерпретации вашего окончательного результата. Включите его, и у вас есть решение.

придурок

@Simone Помните, что для целей концепции реактивного сопротивления ток опережает напряжение на

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}2$ в конденсаторе и отстает на

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}2$ в индукторе. Понятие реактивного сопротивления по определению должно рассматриваться как ортогональное сопротивлению. Реактивное сопротивление - это упрощение, поэтому люди, не умеющие исчислять, проводят общий анализ переменного тока. (Намного проще просто применить Лапласа и решить для импеданса, не беспокоясь об этом)

придурок

@Simone Последнее замечание. В Лапласе,

s

$s$ является оператором, где

s = \frac{d}{d t}

$s=\frac{\text{d}}{\text{d}\, t}\fbox{}$ и

\frac{1}{s} = \int d t

$\frac1s=\int\fbox{}\:\text{d}t$ . Начните с:

I_{_{C}} = C \frac{d}{d t} V_{_{C}}

$I_{_\text{C}}=C\:\frac{\text{d}}{\text{d}\, t}V_{_\text{C}}$ . Подставим в оператор Лапласа, чтобы получить

I_{_{C}} = C s V_{C}

$I_{_\text{C}}=C\:s\: V_C$ . Переработано:

Z_{C} = \frac{V_{C}}{I_{C}} = \frac{1}{s C}

$Z_C=\frac{V_C}{I_C}=\frac1{s\,C}$ . Использование операторов упрощает задачу. Примените его сейчас к

V_{_{L}} = L \frac{d}{d t} I_{_{L}} = L s I_{L}

$V_{_\text{L}}=L\:\frac{\text{d}}{\text{d}\, t}\, I_{_\text{L}}= L\:s\: I_L$ . Так

Z_{L} = \frac{V_{L}}{I_{L}} = s L

$Z_L=\frac{V_L}{I_L}=s\, L$ ! Хороший.

Ответы (1)

Доказательство уравнения емкостного реактивного сопротивления

Знакомы ли вы с выражением колеблющихся величин в виде комплексных чисел? Импеданс конденсатора является мнимым числом.
Так почему же значение тангенса не учитывается?
Хотя sin(x)/cos(x) равно tan(x), здесь это не имеет особого смысла. Что вам может быть интересно, заметив, что sin(x) и cos(x) имеют разность фаз 90 градусов, что может помочь вам двигаться вперед.
Если это комплексное число, информация о фазе и амплитуде объединяется. Только когда вы берете модуль или фазу комплексного числа, их можно рассматривать отдельно.
@Simone, проблема в том, что вам не хватает определения реактивного сопротивления для того, как его следует применять. Как это предполагается применять, вы должны воспринимать это как $\frac{\pi}2$ не в фазе. (Для индуктивности, наоборот, не в фазе.) Это не в фазе с сопротивлением. Вы не включили дополнительный фазовый термин, который потребуется при интерпретации вашего окончательного результата. Включите его, и у вас есть решение.
@Simone Помните, что для целей концепции реактивного сопротивления ток опережает напряжение на $\frac{\pi}2$ в конденсаторе и отстает на $\frac{\pi}2$ в индукторе. Понятие реактивного сопротивления по определению должно рассматриваться как ортогональное сопротивлению. Реактивное сопротивление - это упрощение, поэтому люди, не умеющие исчислять, проводят общий анализ переменного тока. (Намного проще просто применить Лапласа и решить для импеданса, не беспокоясь об этом)
@Simone Последнее замечание. В Лапласе, $s$ является оператором, где $s=\frac{\text{d}}{\text{d}\, t}\fbox{}$ и $\frac1s=\int\fbox{}\:\text{d}t$ . Начните с: $I_{_\text{C}}=C\:\frac{\text{d}}{\text{d}\, t}V_{_\text{C}}$ . Подставим в оператор Лапласа, чтобы получить $I_{_\text{C}}=C\:s\: V_C$ . Переработано: $Z_C=\frac{V_C}{I_C}=\frac1{s\,C}$ . Использование операторов упрощает задачу. Примените его сейчас к $V_{_\text{L}}=L\:\frac{\text{d}}{\text{d}\, t}\, I_{_\text{L}}= L\:s\: I_L$ . Так $Z_L=\frac{V_L}{I_L}=s\, L$ ! Хороший.

Рохат Кылыч · Answer 1

В чем дело?

Ваш последний подход.

Во-первых, вот более простое доказательство:

г д "=" С г в_{С} (т) "=" я (т) г т \Rightarrow я (т) "=" С \frac{г в_{С} (т)}{г т} \frac{г}{г т} "=" Дж ю \Rightarrow я (т) "=" в_{С} (т) (Дж ю С) \Rightarrow Z_{С} "=" \frac{в_{С} (т)}{я (т)} "=" \frac{1}{Дж ю С} {Икс}_{С} "=" | Z_{С} | "=" \frac{1}{ю С}

$\mathrm{ dq = C \ dv_C(t) = i(t)\ dt \\ \Rightarrow i(t) = C \ \frac{dv_C(t)}{dt} \\ \frac{d}{dt}=j\omega \ \Rightarrow i(t) = v_C(t) (j\omega \ C) \\ \Rightarrow Z_C=\frac{v_C(t)}{i(t)}=\frac{1}{j\omega \ C} \\ X_C=|Z_C|=\frac{1}{\omega \ C} }$

Теперь давайте подойдем к вашей проблеме правильно (или лучше?):

У вас есть источник синусоидального напряжения: $\mathrm{V_S=V_m\ \sin(\omega t)}$ .

И у вас есть конденсатор, подключенный к источнику:

схематический

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

Заряд конденсатора будет:

Вопрос "=" С В_{С} "=" С В_{м} грех (ю т)

$\mathrm{ Q = C\ V_S = C\ V_m\ \sin(\omega t) }$

А ток будет:

я (т) "=" \frac{г Вопрос}{г т} \Rightarrow я (т) "=" ю С В_{м} потому что (ю т) "=" ю С В_{м} грех (ю т + π / 2)

$\mathrm{ i(t)=\frac{dQ}{dt} \\ \Rightarrow i(t)=\omega C \ V_m \ \cos(\omega t) = \omega C \ V_m \ \sin(\omega t + \pi / 2) }$

Мы видим, что ток все еще в $\mathrm{i(t) = V(t) / R}$ форма. Итак, емкостное сопротивление равно

{Икс}_{С} "=" \frac{1}{ю С}

$\mathrm{ X_C=\frac{1}{\omega C} }$

Обратите внимание, что последний термин $\sin (\omega t + \pi / 2)$ указывает, что ток является синусоидой, опережающей напряжение ( $\mathrm{V_s}$ выше) на 90 градусов.

Применим то же самое к катушке индуктивности с тем же источником напряжения: $\mathrm{V_S=V_m\ \sin(\omega t)}$

Мы знаем, что отношение напряжения к току катушки индуктивности:

в_{л} (т) "=" л \frac{г я_{л} (т)}{г т} \Rightarrow я (т) "=" \frac{1}{л} \int в_{л} (т) г т "=" \frac{В_{м}}{л} \int грех (ю т) г т \Rightarrow я (т) "=" \frac{В_{м}}{ю л} (- потому что (ю т)) \Rightarrow я (т) "=" \frac{В_{м}}{ю л} грех (ю т - π / 2)

$\mathrm{ v_L(t) = L \ \frac{di_L(t)}{dt} \\ \Rightarrow i(t) = \frac{1}{L} \int{v_L(t)dt} = \frac{V_m}{L} \int{\sin(\omega t)dt} \\ \Rightarrow i(t) = \frac{V_m}{\omega L} \ (-\cos(\omega t)) \\ \Rightarrow i(t) = \frac{V_m}{\omega L} \ \sin(\omega t - \pi / 2) }$

Как видно сверху, индуктивное сопротивление равно $\mathrm{X_L=\omega L}$ , а ток представляет собой синусоиду, отстающую от напряжения ( $\mathrm{V_s}$ выше) на 90 градусов.

Спасибо. Я не хотел писать ответ, потому что вы были почти там! +1
Как я могу отличить, если ток опережает или отстает от напряжения? Например, с реактивным сопротивлением индуктивности у меня есть $я (т) "=" В_{М} / (л ш) с о с (ю т)$ $i(t) = V_M/(Lw) cos(ωt)$ но как я могу выбрать $\pm π / 2$ $\pm \pi / 2$
@Simone Ты не выбираешь. Вы видите отставание/опережение от определения. Я редактирую свой ответ. Проверьте это через несколько минут. Пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать о том, чего вы не понимаете.
Ток опережает напряжение с конденсатором. sin(wt - pi/2) сдвигает ток на +90 градусов.
@hacktastical Current leads voltage with a capacitor.да, и это то, что я написал в своем ответе. Не могли бы вы прочитать его еще раз и сказать мне, в чем проблема?
@Rohat Можете ли вы объяснить мне, почему $\frac{d}{dt} = j \omega$ на более простом доказательстве емкостного сопротивления?
@Симоне $d(e^{j\omega t})/dt=j\omega \ e^{j\omega t}$ . Отсюда и замена. Помните, что эту замену можно сделать, если система возбуждается синусоидальным входным сигналом (например, синусоидальным входным напряжением), потому что мы можем выразить синусоидальные функции с помощью сложных экспоненциальных функций (вспомните уравнение Эйлера).

Доказательство уравнения емкостного реактивного сопротивления

Симона

полвел

Симона

Только я

Всплеск напряжения

придурок

придурок

придурок

Ответы (1)

Рохат Кылыч

придурок

Симона

Рохат Кылыч

бестактный

Рохат Кылыч

бестактный

Симона

Рохат Кылыч

Как рассчитать реактивное сопротивление конденсатора для прямоугольной волны

Путаница с реактивным сопротивлением/импедансом конденсатора

Нагрев нити вакуумной трубки через конденсатор

Построение интуиции на поведении катушек индуктивности и конденсаторов как с напряжением, так и с током

При какой частоте реактивное сопротивление конденсатора 1 мкФ будет равно сопротивлению резистора 2 кОм?

Почему измеритель LCR не измеряет ожидаемое реактивное сопротивление?

Как мне найти C & L из XC и XL?

Понимание свинца в каузальной системе

Влияние емкостного или индуктивного делителя на шум

Реактивное сопротивление конденсатора [иногда] определяется с отрицательным знаком?