Докажите, что логическая формула эквивалентна противоречию тогда и только тогда, когда описываемое ею множество пусто.

Позвольте ψбыть правильной формулой (wff) . Докажи это

(ψ ≡ ⊥) ⇔ {x:ψ(x)}=Ø

то есть формула ψявляется противоречием тогда и только тогда, когда описываемое ею множество не имеет элементов.

Примечание . Этот вопрос не о понимании того, почему это так. Идея кажется интуитивно простой: если ψесть противоречие, то оно ложно и никакие элементы xтеории множеств не могут его удовлетворить. То есть ψ(x)ложно для любого x. Таким образом, множество {x:ψ(x)}не имеет членов, т.е. равно пустому множеству Ø. Другое направление также нетрудно понять (если {x:ψ(x)}=Ø, то никакое множество не xудовлетворяет ψ, поэтому ψ(x)должно быть ложным для любого x, и поэтому имеет смысл, что ψэто противоречие.)

Мой вопрос в том, как можно доказать это формально (то есть формализовать мой аргумент не в терминах свободных английских предложений, как я представил, а в строгой формальной логике?) Пожалуйста, обратите внимание, что мои познания в логике и структуре очень ограничены, за исключением вводных теория множеств и аксиомы ZFC. Но я пытаюсь формализовать свое базовое понимание логики подобно тому, как ZFC формализовала для меня теорию множеств. Спасибо за вашу помощь!

Судя по тому, как вы используете ψ, кажется, что это предикат с 1 местом, если это так, это не может быть противоречием, так может быть только закрытая (например, полностью количественно определенная) формула. Таким образом, под «ψ есть противоречие» вы, вероятно, подразумеваете, что ∃xψ(x) является противоречием, т. е. ψ(x) ложно при любом значении x. Тогда формальное доказательство будет зависеть от точной формы определения пустого множества, одно определение Ø:={x:x≠x}. Но по предположению ψ(x) и x≠x имеют одно и то же истинностное значение для любого x, поэтому по аксиоме экстенсиональности {x:ψ(x)}=Ø.

Ответы (2)

Мы должны помнить, что:

a ∈ {x:ψ(x)} ⇔ ψ(a)

(это определение символа "set-builder" { _ : __ } ).

Но {x:ψ(x)} = Ø , и, следовательно,:

для всех a, a ∉ {x:ψ(x)} ⇔ для всех a, ¬ψ(a) .

Спасибо, Мауро. Это именно то, что я искал. Я никогда не видел утверждения a∈{x:ψ(x)} ⇔ ψ(a), почему это явно не считается аксиомой в ZFC? Порекомендуете ли вы какие-либо книги, в которых подробно рассматривается эта тема?
@EthanAlvaree - см., например, Патрик Суппес, Аксиоматическая теория множеств (1960 - переиздание в Дувре), стр. 34: это не аксиома ZFC, а общее определение «оператора» ( построителя множеств ), используемое в любой теории множеств,

@EthanAlvaree Я предполагаю, что вы считаете psi унарным предикатом. И что ваше утверждение psi эквивалентно false означает: Для всех x: psi(x) is false .

Если это то, что вы имеете в виду, то почти по определению:

psi эквивалентно false тогда и только тогда , когда множество всех x, удовлетворяющих psi, пусто.

Докажите, что логическая формула эквивалентна противоречию тогда и только тогда, когда описываемое ею множество пусто.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v