Что такое «неопределяемые числа» в реальном анализе и философии?

Понятие важно в математической логике и теории моделей, но не в классической математике, включая реальный анализ в его традиционном понимании. Определяемые предикаты обычно важны в теории формальных систем, потому что они показывают, насколько они выразительны, например, теорема Тарского о неопределимости истины утверждает, что в непротиворечивой формальной системе, включающей базовую арифметику, предикат истинности неопределим (это тесно связано с Гёделевская неполнота).

Неопределимые действительные числа — это числа, которые не могут быть однозначно описаны определимыми предикатами, поэтому это понятие полезно при изучении языка анализа, а не его объектов, что является основным предметом классического анализа. Тем не менее, не поддающиеся определению числа могут помочь выразить некоторые факты о высших сферах вселенной множеств. Мой фаворит — неопределимое реальное число 0#.открыт Сильвером в 1966 году. Его существование недоказуемо в стандартной теории множеств (ZFC), но оно оказывает решающее влияние на структуру вселенной множеств. Если 0# не существует, то вселенная множеств очень похожа на гёделевскую конструируемую вселенную, которая хорошо себя ведет и легко описывается; вселенная «невыразима» внутри своей конструируемой части.

Отбросив идею о том, что существуют неопределяемые числа, потому что существуют счетно бесконечные определимые действительные числа и несчетно бесконечные действительные числа, один результат, который можно было бы считать «важным», заключается в том, что никакая непрерывная хаотическая система не может быть идеально смоделирована машиной Тьюринга. Таким образом, если действительно хаотическая динамическая система существует, она не может быть частью симуляции Вселенной, запущенной на машине Тьюринга.

Перефразируя ответ Джоэла Хэмкинса (указанный пользователем 4894) о понятии неопределимых вещественных чисел.

Наивное представление о неопределимости указывает на то, что существует только исчисляемое количество способов, которыми мы можем описать число, но существует неисчислимое количество действительных чисел, следовательно, должны быть действительные числа, которые мы не можем описать; однако понятие определимости проблематично: поскольку действительная линия может быть хорошо упорядочена (в ZFC), мы можем потребовать наименьшее неопределимое положительное действительное; но это определяет его, а также по построению оно неопределимо, и, таким образом, это привело нас прямо к противоречию.

По крайней мере, часть проблемы здесь заключается в природе логического языка, который мы используем с ZFC.

Дело в том, что понятие определимости — это понятие второго порядка, которое имеет смысл только с точки зрения вне вселенной. Теорема Тарского о неопределимости истины показывает, что не существует определения первого порядка , которое позволяет нам единообразно трактовать утверждение, что конкретная конкретная формула истинна в какой-то точке и только в этой точке.

Следовательно, понятие определимости важно для предположения, что логики первого порядка недостаточно.

Я просто хотел бы указать, и я делаю это в ответе, а не в комментарии, потому что у меня нет достаточной репутации, что стандартная стратегия «наименьшего неопределимого числа», которую упоминает @Mozibur Ullah, не работает для реального числа.

Чтобы это работало, структура должна быть не просто упорядоченной, а хорошо упорядоченной . JDH (упомянутый в ответе Мозибура) говорит о порядковых числах, которые есть; реальных цифр нет.

Поскольку действительные числа плохо упорядочены (при стандартном порядке и без аксиомы выбора возможно, что они не имеют правильного порядка), возможно, что для любого действительного числа существует неопределимое действительное число меньше чем это, поэтому не существует наименее неопределимого действительного числа.