В чем разница между логикой и математикой?

Я прочитал статью в SEP о философии математики . Я считаю, что следую большинству из них.

Однако я немного озадачен тем, что может быть связано с каким-то элементарным непониманием с моей стороны. Когда утверждается, что целью (классического) логицизма было сведение математики к логике, что именно подразумевается под «логикой» помимо математической теории логики? В каком смысле существует «нематематическая» логика? Мы можем использовать естественный язык для логических рассуждений, но более краткая математическая формулировка введена именно для того, чтобы устранить двусмысленность при рассуждениях.

Другими словами: чем и почему логика вообще отличается от математики?

Логицизм пытался свести математику к (то, что мы сейчас называем) математической логикой. В то время математика рассматривалась как не включающая даже формальную логику, это было «изучение количества и величины». Более общая концепция охватывается неформальной логикой SEP , а также существует более старое использование термина, которое ближе к тому, что сейчас называется эпситемологией. Но это не та логика, которую имели в виду Фреге и Рассел, и современная математическая логика является результатом их расширения формальной логики. Тем не менее сведение математики к этому нетривиально.
Проблема, с которой вы столкнулись, заключается в том, что вы используете широкое определение «математического» в соответствии с утверждением «Мы можем использовать естественный язык для логических рассуждений, но более краткая математическая формулировка вводится именно для устранения двусмысленности при рассуждениях». Использование вами слова «математический» в этом утверждении следует заменить на «формальный». Да, иногда «математический» используется для обозначения «строгого» или «формального», но это не то, что означает «математическая логика». Математический в данном контексте означает «относящийся к математике», то есть относящийся к изучению чисел, функций и т. д.
Логика отличается от математики в первую очередь тем, что логика не обязательно связана с числами и функциями. Да, они и строгие, и формальные (по крайней мере, они оба могут быть таковыми, потому что иногда это не так), но в этом контексте математический не используется как синоним формального. Является ли пропозициональная логика нулевого порядка математической? Нет, это не имеет ничего общего с математикой, если только вы не навязываете предметную область математическим утверждениям. Это, конечно, формально и строго, но это не то, что «математический» означает в данном контексте.
@Not_Here Ах, отлично, думаю, это исправляет мое заблуждение. Я смешивал разные употребления слова «математический». Почему бы вам не расширить это до ответа?
Это похоже на дубликат этого: philios.stackexchange.com/questions/34074/…
@JordanS Я думаю, что то, как сформулированы вопросы, показывает достаточно нюансов, чтобы считаться разными вопросами, и мне очень нравится ответ Денниса ниже. Итак, короткий ответ — «нет».

Ответы (3)

Существует ли различие и в чем оно заключается, является предметом горячих споров. Вот несколько вещей, которые обычно считаются важными для логики:

  1. Универсальность: законы логики применимы к любому предмету. Это означало бы, например, что различные теории арифметики имеют в основе одну и ту же логику (обычно что-то вроде классической логики первого порядка).
  2. Онтологическая нейтральность: мысль здесь состоит в том, что не существует отчетливо логических объектов и ничего не должно существовать, чтобы логика была истинной. Арифметика предполагает существование натуральных чисел. Теория множеств предполагает существование множеств. Предполагается, что логика свободна от подобных экзистенциальных допущений.
  3. Эпистемический приоритет: фундаментальные истины логики в некотором смысле более устойчивы к сомнению и более априорно достоверны, чем любой другой предмет. Здесь есть две мысли. Во-первых, знание всего остального, включая математику, требует знания логики. Во-вторых, когда дело доходит до логики, места для сомнений меньше или совсем нет.

Теперь каждое из этих утверждений является спорным. «Универсальная применимость» кажется труднодостижимой, если вы не допускаете очень слабой логики, более слабой, чем обычно предполагают люди. Классическая логика не работает для интуиционистов, а интуиционистская логика не улавливает различий, центральных для паранепротиворечивых логик.

Точно так же спорен и онтологический нейтралитет. Логика первого порядка правдоподобно нейтральна, но относительно слаба в выразительном отношении. Например, он не может уловить различие между «конечным» и «бесконечным» и поэтому не сможет точно охарактеризовать множество теорий (т. е. у вас будут нестандартные модели).

Наконец, эпистемологический приоритет также подлежит обсуждению. В зависимости от того, что включается в «логику», вполне вероятно, что простые арифметические и геометрические истины имеют более надежную основу или, по крайней мере, более «очевидны», чем большая часть логики.

Итак, для первых логиков логика была довольно сильной. Теория типов Рассела и Уайтхеда была достаточно сильна, чтобы интерпретировать арифметику — доказательство неполноты Гёделя сформулировано в этой системе — и, по крайней мере, слабую теорию множеств. Проблема для них заключалась в том, что результаты Гёделя, казалось, показывали, что логика не может быть прочным основанием, на которое они надеялись, по крайней мере, не для какой-либо интересующей математики.

«Неологики» делают более скромные заявления о том, что логика (слабая логика второго порядка) в сочетании с некоторыми концептуальными истинами о математике (такими как «принцип Юма» для натуральных чисел) обеспечивает основу для математики. Здесь возражения, как правило, будут касаться либо полноты программы — она не может охватить всю математику, — либо логического статуса их «логики» (что это просто «теория множеств в овечьей шкуре»).

Дальнейшее чтение:

Хорошей обзорной книгой по философии математики является книга Стюарта Шапиро « Размышляя о математике» . Глава 5 охватывает логицизм и затрагивает все эти темы, но вся часть III (гл. 5-7) актуальна. Свободно доступное обсуждение логицизма можно найти на сайте SEP. Классическим текстом неологизма (также называемого «неофрегеанством»), отстаиваемого в первую очередь Криспином Райтом и Бобом Хейлом, является « Концепция чисел как объектов» Райта Фреге . У Райта и Хейла есть сборник эссе о неологицизме под названием « Правильное исследование разума» . Запись SEP «Логика и онтология» и запись «Логические константы» также актуальны.

Более подробное обсуждение каждой из тем:

  1. Универсальная применимость: это восходит к Канту и особенно Фреге, которые разделили (1) и (2), позволив «понятиям» быть частью онтологии логики. Цитата из записи SEP о «Логических константах» :

… основные положения, на которых основана арифметика, не могут применяться просто к ограниченной области, особенности которой они выражают так же, как аксиомы геометрии выражают особенности пространственного; скорее, эти основные положения должны распространяться на все, что можно помыслить. И, конечно, мы вправе приписывать такие чрезвычайно общие положения логике. (1885, 95, в Frege 1984; дальнейшее обсуждение см. в MacFarlane 2002)

Упомянутая статья Макфарлейна называется «Фреге, Кант и логика в логицизме». См. также книгу Альдо Антонелли и Роберта Мэя «Новая наука Фреге» (2000).

  1. Онтологическая нейтральность: Джордж Булос хорошо обсуждает это в своей книге «О логике второго порядка» (1975; перепечатано в его « Логике, логике, логике» , цитаты из переиздания). Он связывает это с (1) под названием «тематический нейтралитет»:

[И] идея состоит в том, что специальные науки, такие как астрономия, теория поля или теория множеств, имеют свои собственные специальные предметы, такие как небесные тела, поля или множества, но что логика не касается каких-либо конкретных вещей. , и, следовательно, утверждение о том, что наборы таких-то и таких-то видов существуют, относится к области логики не более, чем утверждения о существовании различных типов планет. (стр. 44)

  1. Эпистемический приоритет: классическим (критическим) обсуждением этой темы является « Сеть убеждений» Куайна . В нем он обсуждает идею о том, что истины логики каким-то образом более «невосприимчивы к пересмотру», чем другие истины. Хотя он симпатизирует идее о том, что они более невосприимчивы к пересмотру — более «центральны в нашей сети убеждений», — он отвергает классическую точку зрения, согласно которой они полностью невосприимчивы к пересмотру. Глава 4 «Самоочевидность» здесь наиболее уместна.
Это очень содержательный ответ, спасибо!
@МартинС. Рад помочь. Не стесняйтесь обращаться за разъяснениями. Я постараюсь добавить несколько ссылок для дальнейшего чтения, когда у меня будет время.
Можете ли вы порекомендовать справочную/обзорную статью, в которой пункты с 1 по 3 обсуждаются более подробно?
@МартинС. Книга Стюарта Шапиро «Размышляя о математике» — хороший обзорный сборник, охватывающий множество тем философии математики. Глава 5 посвящена логицизму, и все эти темы хотя бы вскользь упоминаются, но обе главы 6 и 7 актуальны. Добавлю немного к ответу.

Я считаю, что современным студентам говорят то же самое, что вы слышали. Этого не было, когда я изучал логику. Математическая логика не существовала до 1845 года. Заметьте, я не говорил, что математики не существовало. Аристотелевская логика предшествовала математической логике и не имела символизации.

Аристотелевская логика была семантической. Я бы сказал более лингвистически. Эта логика была основана на языке и контексте, а не на символах. Искусство риторики и психология тесно связаны в том, как люди убеждают и обманывают других людей. Логика, выраженная Аристотелем, была способом оценки вводящих в заблуждение рассуждений, для которых математическая логика не предназначалась. То, как люди используют слова, может быстро обмануть слабоумных. Они говорят быстро, используют несколько определений одного и того же термина в одном и том же аргументе, используют расплывчатые термины и так далее. Логическая форма позволит слушателю или наблюдателю быстро распознать обманную практику. Математическая логика заботится только о достоверности, тогда как в аристотелевской логике были другие наборы правил, которые были утеряны или переименованы.

Когда я изучал логику, мне не разрешалось использовать ложные предпосылки. Суть Логики в том, чтобы двигаться от истины к другим истинам, что сохраняет истину на надежности людей, использующих этот метод логики. Сегодня люди выдвигают предложения любым способом, независимо от того, истинны они или откровенно ложны. Математики говорят, что логика касается формы. Так было не всегда. Как я уже сказал, поколение, в котором я учился, не допускало ложных предпосылок. Таким образом, можно было бы подумать, что содержание в какой-то степени имеет значение, потому что оно имело значение! Как математическая логика работает со словами в контексте, чтобы реалистично говорить люди. Вот что делает риторика, не так ли? Подумайте здесь о политике. Красиво говорящие, которые могут апеллировать к эмоциям, чтобы убедить избирателей, или могут перевернуть позиции, уже высказанные и на которые уже был дан ответ.

У Аристотеля были соперники, называемые софистами, которые делали то же самое, что и выше, и которых он считал пользователям метода софитрии плохой риторикой. Так, он написал трактат о риторике; и логические трактаты были написаны, чтобы провести различие между хорошими и ошибочными методами. То, как люди говорили в действительности в отношении аргументов, и было тем, что пытались уловить силлогизмы. Это подразумевает скрытые предпосылки и общеизвестные заявления, не изложенные в устной форме. Как математическая логика может работать с системой, основанной на семантике?

Контексты посылок имели значение в аристотелевской логике и не столько символизировались. Еще Аристотель делил логику на большую логику и малую логику. В средние века появился термин «Материальная логика», который улучшил аристотелевскую логику. Вскоре после этого появились символические представления. На знаменитой математической конференции примерно в 1845 году были заложены основы математической логики.

Материальная логика, вероятно, превратилась в область эпистемологии. Material Logic сосредоточился на содержании, а также на логической форме. Математики не заботятся об истинности предложений. Философы сделали. Как я уже сказал, не допускаются ложные предпосылки. Таким образом, все аргументы нуждались в предложениях, которые были бы истинными предпосылками, а это обязательно означало бы наличие здравых аргументов. Все веские аргументы должны быть действительными. То есть из философии.

Теперь математика не заботится ни о том, как формируются предложения, ни об истинности предложений в аргументе. Только форма, действительная или недействительная, имеет значение в математическом смысле. Эпистемология сегодня рассматривает не только логику, но и то, что представляют собой значения истинности и какие предложения истинны. Когда я узнал, что логика включала твердое содержание и контекст аргументов. Сегодня это не так.

Будет ли уместно резюмировать ваш ответ следующим образом: «Есть формы логики, которые больше сосредоточены на семантике, чем на синтаксисе»? Я также должен задаться вопросом, имеет ли значение тот факт, что аристотелевская логика не имела хорошо разработанной математической записи. Есть ли какая-то причина, по которой это принципиально невозможно? Это кажется маловероятным.
Символизация не будет охватывать контекст. Как символизация может указать, меняет ли ваш оппонент позицию? Вот почему аристотелевская логика была основана на языке, а не на математике.
Подводя итог, классическая логика имела дело с правилами формулирования утверждений, которые математика не называет синтаксисом. Истина, контекст и шаблон, сформированный тетами, имели значение, тогда как в математике правда и контекст не имеют значения.
@Logikal: Но математика изначально тоже была основана на языке. Это только показывает, что логике потребовалось больше времени для формализации.
@Mozibur Ullah, древние египтяне обладали развитой математикой по сравнению со своими соперниками и использовали символы. Риторика также основана на языке, но люди не говорят, что математика — это то же самое, что и риторика. Цель риторики отлична от математики, как философия отлична от математики. Логика подпадала под философию до тех пор, пока логика не была сопоставлена ​​с математикой на той математической конференции, где также присутствовал Джордж Буль. Это было примерно в 1845 году. До этого логика не относилась к философии.
@logikal: Конечно, но риторика - это не только язык - есть и другие способы. Кроме того, язык остается важным способом понимания математики — математика состоит не только из символов.

Уайтхед и Рассел доказали, что логика и математика — одно и то же, выведя математику из логических утверждений.

Логические предложения — это предложения вида «p подразумевает q». Некоторые предложения являются хорошо известными логическими предложениями, например, «p или p подразумевает p»; некоторые другие сомневаются в том, являются ли они логическими утверждениями или нет. Примитивные предложения W&R — это все хорошо известные логические предложения, за исключением, возможно, аксиомы сводимости.

См. Математика и логика

Между прочим, если вы достаточно долго изучаете логицизм, вам будет трудно мириться с людьми, говорящими неточно. Было бы грубым заблуждением говорить об обратном расширении как о сокращении . По словам W&R:

Следовательно, область математики расширяется как за счет добавления новых предметов, так и за счет обратного расширения в области, до сих пор оставленные философии.

Уайтхед и Рассел. "Предисловие." Принципы математики. Том 1. Купеческие книги, 1910. т.

Уайтхед и Рассел доказали и популяризировали отдельную тему математической логики. Это не эквивалентно аристотелевской логике. При условии, что новая логика является улучшением во многих аспектах, она утратила намерение и цель, а также многие философские концепции. Чтобы далеко продвинуться в математической логике, нужно обладать математическими знаниями. Любой взрослый практически любого образования может решить классический силлогизм. Никаких дополнительных предметов не требуется. Для математической логики нужно рассуждать и осваивать дополнительный предметный материал. Классическая логика Мне нужно знать только дедуктивное рассуждение.
Я не припомню, чтобы Рассел когда-либо использовал такие слова, как «математическая логика», он использует «символическую логику». Символическая логика для аристотелевской логики подобна арабским цифрам для римских цифр.
Как математический конструктивист я оспариваю утверждение о том, что математику можно свести к логике. Они пересекаются в лучшем случае.
В чем разница между логикой и математикой?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 18v