Может ли какая-либо логическая система обеспечить невозможное решение парадокса Рассела в наивной теории множеств?

В наивной теории множеств в классической логике мы не можем описать или найти решение парадокса множеств Рассела (это невозможно).

Но существует ли какая-либо логическая система или какой-либо метод, которые могут обеспечить это решение? Есть ли какая-то логическая система или метод, где мы могли бы найти и описать это решение? Сработает ли тривиализм (поскольку там допускаются противоречия и невозможное)?

Тривиальная логика настолько тривиальна.
В наивной теории множеств, используя (используя) классическую логику, мы можем описать множество Рассела и показать, что оно приводит к противоречию.
«Существует ли какая-либо логическая система или какой-либо метод, которые могут предоставить это (парадоксу) решение?» Да: см. Аксиоматическая теория множеств .
@MauroALLEGRANZA Но в логической системе, где невозможные вещи могут происходить, как в тривиализме, не можем ли мы найти невозможное решение, которое не может существовать в классической логике-наивной теории множеств для парадокса Рассела (поскольку его невозможно найти, не было бы мы сможем найти его в логической системе, где невозможные вещи допустимы или могут быть найдены, как в тривиализме)?
Уже дважды спрашивали (и отвечали) ... См. Также Паранепротиворечивую теорию множеств : «Наивные и интуитивно правильные аксиомы теории множеств - это схема понимания и принцип экстенсиональности . [...] Отсюда следует, что r∈r ∧ r ∉r . Паранепротиворечивый подход позволяет иметь теории множеств, в которых соблюдаются математически фундаментальные интуитивные представления об этих понятиях. Существует несколько подходов к теории множеств с наивным пониманием через паранепротиворечивую логику».
@MauroALLEGRANZA, а «аксиоматическая теория множеств» «внутри» или часть классической логики? но если в классической логике мы не можем найти/описать решение парадокса множеств Рассела в наивной теории множеств, как это возможно? И если это не часть классической логики, то можем ли мы найти здесь невозможное решение парадокса Рассела, которое не может существовать в классической логике-наивной-теории-множеств?
@MauroALLEGRANZA, но один философ однажды сказал мне, что ZFC не совсем невозможное решение, которое мы не можем найти / описать в классической логике и наивной теории множеств.
@MauroALLEGRANZA «Учитывая теорию множеств Цермело-Френкеля (ZFC), множество Рассела не существует, и любой объект, удовлетворяющий описанию множества Рассела, на самом деле является множеством. и ничего не подразумевают. Это позволяет существующему множеству Рассела не нарушать саму логику. Теория множеств Скотта-Поттера разрешает парадокс таким же образом».
@MauroALLEGRANZA «Я хотел сказать, учитывая ZFC .... ни один объект, удовлетворяющий описанию набора Рассела, на самом деле не является набором». А также, помимо аксиоматической и паранепротиворечивой теории множеств, существует ли какая-либо тривиальная теория множеств?
@MoziburUllah И может ли эта тривиальная логика обеспечить это решение? Я имею в виду, можем ли мы найти здесь невозможное решение парадокса Рассела, которого не может быть в классической логике-наивной теории множеств?
В настоящее время обычная теория множеств и логика обеспечивают решение RP. Это не было проблемой в математике в течение столетия или более. Несколько фанатиков, кажется, все еще бьются над так называемым парадоксом лжеца, но их решение, похоже, состоит в том, чтобы принять определенные несоответствия в их системе логики. Звучит как тупик для меня. Или, может быть, он просто нуждается в небольшой настройке. Вы все равно можете поискать их, но LP никогда не было проблемой в математике, насколько мне известно.

Ответы (1)

Идея состоит в том, чтобы рассматривать совокупность всех наборов как еще один тип объекта.

Обычно такие объекты называются классами . Теория множеств Бернайса-Гёделя - это теория (консервативное расширение ZFC), которая включает классы, и поэтому класс всех множеств является четко определенным понятием.

Ясно, что класс всех классов будет иметь те же проблемы, что и набор всех множеств, но этого можно избежать благодаря тому факту, что в BG невозможно количественно оценить классы.

Профессиональные математики, которые не занимаются логикой или теорией множеств, т . е . большинство из них, относятся к классам более расслабленно и в основном используют их как полустрогие объекты, стараясь не проводить над ними количественную оценку, а используя их по существу как множества. Одним из таких примеров является теория категорий, где многие из обычно используемых категорий являются классами.

Может ли какая-либо логическая система обеспечить невозможное решение парадокса Рассела в наивной теории множеств?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v