В каком смысле теория множеств является «метатеорией» анализа?

«Теория множеств» — расплывчатый термин, который может относиться к «наивной» теории множеств , включающей в себя основные свойства точечных множеств, функций, отношений и т. д. Они находятся на том же объектном уровне, что и анализ, хотя они более широко применимы и более универсальны. используется также в геометрии, арифметике, алгебре и т. д. Однако Дао конкретно ссылается на «теоретико-множественные основы». Это аксиоматические теории, которые «интерпретируют» анализ, реконструируя его из того, что содержится в самих аксиомах, и ничего более. Самый популярный из них, ZFC (от Zermelo-Fraenkel-Choice, последнее относится к аксиоме выбора), формально строит все из одного предиката (принадлежит) и нескольких объектов, обеспечиваемых аксиомами его существования (пустое множество, бесконечное множество, степенное множество множества и т. д.). Затем некоторые конструкции идентифицируются с аналитическими объектами.

Построение метатеории обычно означает аксиоматизацию области и рассуждения о том, что можно и что нельзя вывести в результирующей формальной теории, например, непротиворечива ли она, полна, независимы ли ее аксиомы друг от друга и т. д. Стандартный способ решения Эти проблемы заключаются в построении различных теоретико-множественных моделей , например, Гёдель доказал (относительную) согласованность аксиомы выбора с другими аксиомами ZFC, построив модели ZF там, где она выполняется, Гильберт аналогичным образом доказал независимость постулата параллельности от других аксиом евклидовой геометрии. . Существует аналогичный способ аксиоматизации реального анализа, и изучение такой аксиоматизации (й) осуществляется путем формального включения ее в аксиоматическую теорию множеств, см. Является ли аксиоматический подход к определению R строгим?Вот почему Тао считает «теоретико-множественные основы» «частью метатеории анализа».

Статья в Википедии, кажется, несколько расходится с тем, как я понимаю термин, который следует использовать — метатеория предоставляет элементы, с точки зрения которых мы будем обсуждать теорию.

Т.е. теория множеств говорит нам о множествах и функциях и о том, как их вычислять и рассуждать с ними, затем анализ использует понятия множества и функции для развития исчисления и тому подобного.

Я полагаю, что можно было бы развить область «метаанализа», которая является изучением самого анализа, но это не то, что подразумевается здесь под термином «метатеория».

Тао поясняет в комментарии :

Строго говоря, если кто-то хочет обсудить теорию логической дедукции должным образом, следует позаботиться о том, чтобы провести различие между обсуждаемой «внутренней» формальной теорией (например, логикой высказываний или логикой первого порядка) и более неформальной (и «внешней»). ») метатеория использовалась для обсуждения этой формальной теории. С такой тщательной точки зрения дедуктивные правила, такие как «Учитывая, что «Если X истинно, то Y истинно», можно вывести «Если Y ложно, то X ложно»» являются частью внешней метатеории, а не сама теория. На самом деле, строго говоря, использование таких фраз, как «истинно» или «ложно», уже является частью метатеории; если бы кто-то полностью придерживался формального синтаксиса логики высказываний, вместо этого он должен был бы говорить что-то вроде «Учитывая, что «$X \ подразумевает Y$», можно вывести «$\neg Y \ подразумевает \neg X$»».

(Я пытался использовать LaTeX, но я не уверен, поддерживает ли этоphilosophy.se — поэтому возможные знаки доллара в цитируемом отрывке принадлежат мне.)

Кажется, что Дао использует «метатеорию» так же, как можно было бы использовать «метаязык» для обсуждения «объектного языка» (или, аналогично, для изложения «объектной теории»). Следовательно, этот термин кажется синонимом «основ математики».

Теория множеств никоим образом не является основой математики или анализа, но находится в явном противоречии с ними. Хотя сторонники теории множеств предпочитают просто иметь слепое пятно в этом вопросе, оно ясно каждому объективному наблюдателю. Самый простой пример, понятный даже нематематикам, таков:

Когда Скрудж Макдак ежедневно получает 10 перечисленных долларов и ежедневно тратит один доллар, а именно тот, у которого наименьшее число, то он станет банкротом в установленном теоретическом пределе. В математическом пределе он станет бесконечно богатым.

Когда Макдак всегда будет тратить доллар с наибольшим числом, которым он владеет, он станет бесконечно богатым даже в установленном теоретическом пределе. Эта зависимость от индекса показывает, что теория множеств также не может иметь никакого научного применения.