Докажите сохранение энергии, используя теорему Нётер.

Question

Докажите сохранение энергии, используя теорему Нётер.

Турботантен

Интересно, как вы доказываете, что энергия сохраняется при переносе во времени, используя теорему Нётер? Я пробовал сам, но безуспешно. Что я придумал до сих пор, так это то, что я начинаю с того, что индуцирую следующее преобразование симметрии

\begin{aligned} {час}_{с} : & д \to {час}_{с} (д (т)) "=" д (т) \\ {\hat{час}}_{с} : & \dot{д} (т) \to {\hat{час}}_{с} (\dot{д} (т)) "=" \dot{д} (т) \\ т \to т^{'} "=" т + с ϵ \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{h}_s:\ &q \rightarrow \mathrm{h}_s(q(t)) = q(t)\\ \hat{\mathrm{h}}_s:\ &\dot{q}(t) \rightarrow \hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t)) = \dot{q}(t)\\ &t \rightarrow t^\prime = t+s\epsilon \end{align}$

h_{s}

$\mathrm{h}_s$ является симметрией лагранжиана, если:

л ({час}_{с} (д (т)), {\hat{час}}_{с} (\dot{д} (т)), т^{'}) "=" л (Икс, \dot{Икс}, т) + \frac{г}{дт} Ф_{с}

$L(\mathrm{h}_s(q(t)),\hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t)),t^\prime) = L(x,\dot{x},t) + \frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}F_s$ Тогда я производная по

s

$s$ и искать минимум.

\frac{\partial}{\partial с} (л ({час}_{с} (д (т)), {\hat{час}}_{с} (\dot{д} (т)), т^{'}) - \frac{г}{дт} Ф_{с}) "=" 0

$\frac{\partial}{\partial s}\Big(L(\mathrm{h}_s(q(t)),\hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t)),t^\prime) - \frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}F_s\Big)=0$ Я считаю, что производная

\frac{\partial л}{\partial {час}_{с} (д (т))} \frac{{час}_{с} (д (т))}{\partial с} + \frac{\partial л}{\partial {\hat{час}}_{с} (\dot{д} (т))} \frac{{\hat{час}}_{с} (\dot{д} (т))}{\partial с} + \frac{\partial л}{\partial т^{'}} \frac{\partial т^{'}}{\partial с} - \frac{г}{дт} \frac{\partial Ф_{с}}{\partial с} "=" 0

$\frac{\partial L}{\partial \mathrm{h}_s(q(t))}\frac{\mathrm{h}_s(q(t))}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial \hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t))}\frac{\hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t))}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial t^\prime}\frac{\partial t^\prime}{\partial s}- \frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s}=0$

\Rightarrow \frac{\partial л}{\partial т^{'}} ϵ - \frac{г}{дт} \frac{\partial Ф_{с}}{\partial с} "=" \frac{\partial л}{\partial т} \frac{г т}{г т^{'}} ϵ - \frac{г}{дт} \frac{\partial Ф_{с}}{\partial с} "=" \frac{\partial л}{\partial т} ϵ - \frac{г}{дт} \frac{\partial Ф_{с}}{\partial с} "=" 0

$\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial t^\prime}\epsilon-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s} = \frac{\partial L}{\partial t}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dt^\prime}}\epsilon -\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s} = \frac{\partial L}{\partial t}\epsilon -\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s} = 0$ Вот та часть, где я застрял. Я не знаю, что делать дальше. Я пытаюсь найти свой нётеровский заряд, который соответствует переводу во времени, чтобы быть гамильтонианом. Есть ли более простой или лучший способ сделать это? Пожалуйста, научите меня, я умираю, чтобы учиться!

Я нашел эту книгу, Ланцош, Вариационные принципы механики, стр. 401 , в которой явным образом показано сохранение энергии с использованием теоремы Нётер. Thou Кажется, я не могу выполнить шаг от уравнения 7 до 8. Может ли кто-нибудь объяснить мне, почему интеграл выглядит именно так? Тейлор как-то расширил выражение?

Любопытный Разум

Ваша трансформация не подходит для "перевода времени". Qmechanic объясняет здесь почему и дает правильный вывод. (Другие ответы также стоит прочитать)

Турботантен

Спасибо за помощь, но в выводе есть одна часть, которую я не понимаю -> «(Голый) ток Нётер (умноженный на ϵ) становится ...». Кажется, я не могу найти, где в вики указывается голый ток Нётера.

Любопытный Разум

В Wiki это не указано как «голое» (поскольку Wiki не рассматривает квазисимметрии, то есть те, которые оставляют лагранжев инвариант только с точностью до полной производной). «Голый» нётеровский ток — это ток , если преобразование представляет собой симметрию лагранжиана , в то время как «полный» нётеровский ток — это голый ток + вклады граничных членов от полной производной.

Турботантен

Итак, в моем случае

F_{s}

$F_s$ срок соответствует вкладу от граничных условий, а остальное - это то, что вы бы назвали «голым» нётеровским током? Я просто очень смущен в данный момент.

Ответы (2)

Докажите сохранение энергии, используя теорему Нётер.

Ваша трансформация не подходит для "перевода времени". Qmechanic объясняет здесь почему и дает правильный вывод. (Другие ответы также стоит прочитать)
Спасибо за помощь, но в выводе есть одна часть, которую я не понимаю -> «(Голый) ток Нётер (умноженный на ϵ) становится ...». Кажется, я не могу найти, где в вики указывается голый ток Нётера.
В Wiki это не указано как «голое» (поскольку Wiki не рассматривает квазисимметрии, то есть те, которые оставляют лагранжев инвариант только с точностью до полной производной). «Голый» нётеровский ток — это ток , если преобразование представляет собой симметрию лагранжиана , в то время как «полный» нётеровский ток — это голый ток + вклады граничных членов от полной производной.
Итак, в моем случае $F_s$ срок соответствует вкладу от граничных условий, а остальное - это то, что вы бы назвали «голым» нётеровским током? Я просто очень смущен в данный момент.

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к сообщению OP (v4):

ОП пытается доказать с помощью теоремы Нётер , что никакая явная временная зависимость лагранжиана не приводит к сохранению энергии.
Преобразование ОП кажется чистым горизонтальным бесконечно малым переводом времени.
$\begin{matrix} (А) & т^{'} - т "=" дельта т "=" - ϵ, (горизонтальный вариант) \end{matrix}$ $\tag{A} t^{\prime} - t ~=:~\delta t ~=~-\epsilon, \qquad \text{(horizontal variation)}$ $\begin{matrix} (Б) & д^{' я} (т) - д^{я} (т) "=" {дельта}_{0} д^{я} "=" 0, (без вертикального отклонения) \end{matrix}$ $\tag{B} q^{\prime i}(t) - q^i(t)~=:~\delta_0 q^i ~=~0, \qquad \text{(no vertical variation)}$ $\begin{matrix} (С) & д^{' я} (т^{'}) - д^{я} (т) "=" дельта д^{я} "=" - ϵ \dot{д} . (полная вариация) \end{matrix}$ $\tag{C} q^{\prime i}(t^{\prime}) - q^i(t)~=:~\delta q^i ~=~-\epsilon\dot{q}. \qquad \text{(full variation)}$ В моем ответе Phys.SE здесь объясняется, почему это преобразование (A)-(C) нельзя использовать для доказательства сохранения энергии.
В уравнении (1) на с. 401, исх. 1 вместо этого рассматривает следующее бесконечно малое преобразование
$\begin{matrix} (А') & т^{'} - т "=" дельта т "=" - ϵ, (горизонтальный вариант) \end{matrix}$ $\tag{A'} t^{\prime} - t ~=:~\delta t ~=~-\epsilon, \qquad \text{(horizontal variation)}$ $\begin{matrix} (Б') & д^{' я} (т) - д^{я} (т) "=" {дельта}_{0} д^{я} "=" ϵ \dot{д}, (вертикальная вариация) \end{matrix}$ $\tag{B'} q^{\prime i}(t) - q^i(t)~=:~\delta_0 q^i ~=~\epsilon\dot{q}, \qquad \text{(vertical variation)}$ $\begin{matrix} (С') & д^{' я} (т^{'}) - д^{я} (т) "=" дельта д^{я} "=" 0. (полная вариация) \end{matrix}$ $\tag{C'} q^{\prime i}(t^{\prime}) - q^i(t)~=:~\delta q^i ~=~0. \qquad \text{(full variation)}$ Это то же бесконечно малое преобразование, что и в Разделе IV моего ответа Phys.SE здесь , за исключением того факта, что $\epsilon\equiv\alpha$ может быть функцией времени $t$ . Поэтому вариация действия $S\equiv A$ не обязательно равен нулю, а имеет вид $\begin{matrix} (8) & дельта С "=" \int г т Дж \frac{г ϵ}{г т}, \end{matrix}$ $\tag{8} \delta S ~=~\int\! dt ~j \frac{d\epsilon}{dt},$ где голый нётеровский ток $j=h$ – энергетическая функция, ср. экв. (8) на с. 402 в исх. 1. $t$ -зависимость в $\epsilon$ связан с уловкой Нётер, описанной в этом посте Phys.SE. Это, в свою очередь, может быть объединено в доказательство сохранения энергии на оболочке. $\begin{matrix} (9) & \frac{г час}{г т} \approx 0, \end{matrix}$ $\tag{9}\frac{dh}{dt}~\approx~0,$ ср. экв. (9) на с. 402 в исх. 1.

Использованная литература:

C. Lanczos, Вариационные принципы механики, 1970; Приложение II.

НекоторыеФизикаСтудент · Answer 2

Более простой способ сделать это - просто рассмотреть общее преобразование G, такое, что канонические координаты гамильтониана сдвигаются, как показано ниже:

дельта п "=" \frac{\partial г}{\partial д} дельта λ

$\delta p = \frac{\partial G}{\partial q} \delta \lambda$ и

дельта д "=" - \frac{\partial г}{\partial п} дельта λ,

$\delta q = - \frac{\partial G}{\partial p} \delta \lambda\,,$

где $\lambda$ — это параметр преобразования, определяющий, какую часть преобразования вы хотите применить.

Теперь рассмотрим небольшое изменение гамильтониана, $H(p,q)$ :

\frac{\partial ЧАС}{\partial λ} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial д} \frac{г д}{г λ} + \frac{\partial ЧАС}{\partial п} \frac{г п}{г λ}

$\frac{\partial H}{\partial \lambda} = \frac{\partial{H}}{\partial q}\frac{\mathrm dq}{\mathrm d\lambda} + \frac{\partial{H}}{\partial p}\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\lambda}$

(^ предположим, что гамильтониан не зависит от времени).

Теперь, используя приведенное выше преобразование, мы видим, что:

\frac{\partial ЧАС}{\partial λ} "=" - {ЧАС, г} "=" - \frac{г г}{г т}

$\frac{\partial H}{\partial \lambda} = -\{H, G\} = -\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$

где использованы скобки Пуассона.

Таким образом, если гамильтониан инвариантен относительно непрерывного преобразования, то $G$ является сохраняющимся зарядом.

Если мы позволим $G=H$ , то легко видеть, что поскольку $\{H,H\}=0$ затем $\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=0$ .

Надеюсь это поможет :)

Докажите сохранение энергии, используя теорему Нётер.

Турботантен

Любопытный Разум

Турботантен

Любопытный Разум

Турботантен

Ответы (2)

Qмеханик

НекоторыеФизикаСтудент

Интуитивное объяснение того, почему временная симметрия подразумевает сохранение энергии?

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Суммарная энергия в реономных системах

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Что означает параметр в теореме Нётер?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка