Об уловке для получения тока Нётер

I) Пусть задан локальный функционал действия

$$S[\phi]~=~\int_V \mathrm{d}^nx ~{\cal L}, \tag{1}$$

с лагранжевой плотностью

$${\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),x). \tag{2}$$

[Мы оставляем читателю возможность распространиться на теории высших производных. См. также, например, Ref. 1.]

II) Мы хотим изучить бесконечно малую вариацию$^1$

$$\delta x^{\mu}~=~\epsilon X^{\mu} \qquad\text{and}\qquad \delta\phi^{\alpha}~=~\epsilon Y^{\alpha}\tag{3}$$

координат пространства-времени$x^{\mu}$и поля$\phi^{\alpha}$, с произвольным$x$-зависимая бесконечно малая$\epsilon(x)$, и с некоторыми заданными фиксированными производящими функциями

$$X^{\mu}(x)\qquad\text{and}\qquad Y^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),x).\tag{4}$$

Тогда соответствующая бесконечно малая вариация действия$S$принимает форму$^2$

$$\delta S ~\sim~ \int_V \mathrm{d}^n x \left(\epsilon ~ k + j^{\mu} ~ d_{\mu} \epsilon \right) \tag{5}$$

для некоторых структурных функций

$$k(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x),x)\tag{6}$$

а также

$$j^\mu(\phi(x),\partial\phi(x),x).\tag{7}$$

[Можно показать, что некоторые термины в$k$структурная функция (6) пропорциональна еомам, которые, как правило, второго порядка, поэтому$k$структурная функция (6) может зависеть от пространственно-временных производных второго порядка.]

III) Далее мы предполагаем, что действие$S$имеет квазисимметрию$^3$за$x$-независимый бесконечно малый$\epsilon$. Тогда ур. (5) сводится к

$$0~\sim~\epsilon\int_V \mathrm{d}^n x~ k. \tag{8}$$

IV) Теперь вернемся к вопросу ОП. В связи с тем, что экв. (8) выполняется для всех конфигураций поля вне оболочки, мы можем показать, что уравнение. (8) возможно только в том случае, если

$$k ~=~ d_{\mu}k^{\mu} \tag{9}$$

является полным расхождением. (Здесь слова « в оболочке» и « вне оболочки » относятся к тому, удовлетворены ли eoms или нет.) Более подробно, есть две возможности:

1. Если мы знаем, что ур. (8) верно для любой области интегрирования$V$, мы можем вывести уравнение (9) по локализации.

2. Если мы только знаем, что ур. (8) верно для одной фиксированной области интегрирования$V$, то причина ур. (9) состоит в том, что производные Эйлера–Лагранжа функционала$K[\phi]:=\int_V \mathrm{d}^n x~ k$должен быть тождественно равен нулю. Следовательно$k$сама по себе должна быть полной дивергенцией из-за алгебраической леммы Пуанкаре о так называемом двувариационном комплексе, см., например, Ref. 2. [Обратите внимание, что в принципе могут быть топологические препятствия в пространстве конфигураций поля, которые разрушают это доказательство уравнения. (9).] См. также этот связанный ответ Phys.SE от меня.

V) Можно показать, что$j^\mu$структурные функции (7) и есть затравочные нётеровские токи. Затем определите полные токи Нётер.

$$J^{\mu}~:=~j^{\mu}-k^{\mu}.\tag{10}$$

On-shell, после интегрирования по частям, экв. (5) становится

$$\begin{align} 0~\sim~~~~~&\text{(boundary terms)}~\approx~ \delta S \cr ~\stackrel{(5)+(9)+(10)}{\sim}& \int_V \mathrm{d}^n x ~ J^{\mu}~ d_{\mu}\epsilon \cr ~\sim~~~~~& -\int_V \mathrm{d}^n x ~ \epsilon~ d_{\mu} J^{\mu} \end{align}\tag{11}$$

для произвольного$x$-зависимая бесконечно малая$\epsilon(x)$. Уравнение (11) в точности является искомым уравнением ОП. (*).

VI) Из уравнения (11) следует (через основную лемму вариационного исчисления ) закон сохранения

$$d_{\mu}J^{\mu}~\approx~0, \tag{12}$$

в соответствии с теоремой Нётер.

Использованная литература:

1. П. К. Таунсенд, Теоремы Нётер и высшие производные, arXiv:1605.07128 .

2. Г. Барнич, Ф. Брандт и М. Хенно, Локальные БРСТ-когомологии в калибровочных теориях, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

--

$^1$Поскольку$x$-зависимость от$\epsilon(x)$предполагается лишь навязанной нами искусственной уловкой, можно предположить, что никаких производных от$\epsilon(x)$в законе преобразования (3), так как такие члены все равно исчезли бы при$\epsilon$является$x$-независимый.

$^2$ Обозначение :$\sim$символ означает равенство по модулю граничных условий. $\approx$символ означает равенство по модулю eqs. движения.

$^3$Квазисимметрия локального действия$S=\int_V d^dx ~{\cal L}$означает, что бесконечно малое изменение$\delta S\sim 0$является граничным членом при преобразовании квазисимметрии.