Должно ли быть очевидно, что независимые квантовые состояния составлены из тензорного произведения?

Отличный вопрос! Я не думаю, что здесь есть что-то очевидное.

В квантовой механике мы предполагаем, что это состояние любой системы является нормированным элементом гильбертова пространства.$\mathcal H$. Я собираюсь ограничить обсуждение системами, характеризуемыми конечномерными гильбертовыми пространствами, для концептуальной и математической простоты.

Каждая наблюдаемая величина системы представляется самосопряженным оператором$\Omega$чьи собственные значения$\omega_i$- это значения, которые можно получить после выполнения измерения этой наблюдаемой. Если система находится в состоянии$|\psi\rangle$, то когда кто-то выполняет измерение системы, состояние системы схлопывается до одного из собственных векторов$|\omega_i\rangle$с вероятностью$|\langle \omega_i|\psi\rangle|^2$.

Спектральная теорема гарантирует, что собственные векторы каждой наблюдаемой образуют ортонормированный базис гильбертова пространства, поэтому каждое состояние$\psi$можно записать как

Теперь предположим, что у нас есть две квантовые системы в гильбертовых пространствах.$\mathcal H_1$а также$\mathcal H_2$с наблюдаемыми$\Omega_1$а также$\Omega_2$соответственно. Тогда, если мы произведем измерение на комбинированной системе обеих наблюдаемых, то система 1 схлопнется до некоторой степени.$|\omega_{1i}\rangle$и система 2 рухнет до некоторого состояния$|\omega_{2 j}\rangle$. Тогда кажется разумным ожидать, что состояние объединенной системы после измерения может быть любой такой парой. Более того, квантовый принцип суперпозиции говорит нам, что любая сложная линейная комбинация таких парных состояний также должна быть физически допустимым состоянием системы. Эти соображения естественным образом приводят нас к использованию тензорного произведения$\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2$для описания составной системы, потому что это формализация идеи о том, что комбинированное гильбертово пространство должно состоять из всех линейных комбинаций пар состояний в составляющих подсистемах.

Это та мотивация для использования тензорных продуктов, которую вы искали?

Я хотел бы добавить сюда еще некоторое теоретическое содержание превосходного ответа @joshphysics, поскольку, на мой взгляд, этот предмет не рассматривается должным образом, и есть несколько теоретических результатов по этому вопросу, которые следует знать.

Рассмотрим квантовую систему$S$описывается в гильбертовом пространстве$\cal H$и предположим, что он состоит из двух независимых частей$S_1$а также$S_2$. Мы хотим обсудить, когда эта система может быть представлена ​​в подходящем тензорном произведении.$\cal H_1 \otimes \cal H_2$, для некоторых гильбертовых пространств$\cal H_i$связана с$S_i$,$i=1,2$.

В остальной части моего ответа я не использую понятие тензорного произведения в качестве априорного описания независимых подсистем, потому что я хочу обсудить, когда это описание возможно.

В первую очередь системы$S$,$S_1$,$S_2$изображаются в терминах их наблюдаемых. С очень большой общностью можно считать, что эти наблюдаемые ограничены (неограниченные могут быть получены как предел в сильной операторной топологии из ограниченных), а множества наблюдаемых (включая комплексные линейные комбинации операторов) замкнуты относительно произведение и сумма и сильная операторная топология (это необходимо для реализации стандартного спектрального аппарата).

Таким образом, мы получаем известную структуру, называемую алгеброй наблюдаемых фон Неймана . Таким образом, здесь есть три алгебры фон Неймана:$R$связаны с$S$а также$R_i$соответственно связаны с$S_i$, за$i=1,2$.

Самосопряженные операторы$A\in R$представляют все (ограниченные) наблюдаемые системы$S$. Аналогично, Самосопряженные операторы$A_i\in R_i$представляют все (ограниченные) наблюдаемые системы$S_i$,$i=1,2$.

Типичная ситуация такова$R = B(\cal H)$, куда$B(\cal H)$обозначает полную алгебру ограниченных операторов$A: \cal H \to \cal H$(если$\cal H$конечномерная ограниченность является автоматической). Однако при наличии правил суперотбора или при наличии калибровочной группы не все самосопряженные операторы над$\cal H$представляют наблюдаемые, поэтому предположение$R = B(\cal H)$вообще несостоятельна.

Обсудим, как на этом рисунке представлено понятие независимых подсистем . Есть три требования

1. $R_i$являются подструктурами$R$:$R_i \subset R$, за$i=1,2$,

2. $R_1$а также$R_2$совместимы:$[A_1,A_2]=0$если$A_1\in R_1$а также$A_2\in R_2$,

3. мы можем независимо назначать состояния на$R_1$а также$R_2$в соответствии с требованием ниже называется$W^*$-независимость

[$W^*$-независимость] . Если$T_1$а также$T_2$являются статистическими операторами, действующими на наблюдаемые$R_1$а также$R_2$соответственно ($<A_i>_{T_i} = tr(T_iA_i)$), то существует статистический оператор$T$для всей системы (действующей на$R$) такой, что

Существует много реализаций понятия независимости при фиксировании состояний подсистем, и это соответствует описанию квантовой теории в гильбертовом пространстве.

При предположениях (1)-(3) (также ослабляющих их) возникает, что алгебра, порожденная$R_1$а также$R_2$(конечная сумма конечного произведения так элементов в объединении алгебр) изоморфна$R_1\otimes R_2$в чисто алгебраическом смысле (без топологических последствий). Однако это все еще довольно далеко от стандартной картины, где также факторизовано гильбертово пространство.$\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$и алгебры$R_1$а также$R_2$интерпретируются как алгебры операторов в факторах$\cal H_1$а также$\cal H_2$.

Обратное, однако, верно, как я собираюсь проиллюстрировать.

Предположим, что$\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$чтобы$B(\cal H) = B(\cal H_1) \otimes B(\cal H_2)$. Далее мы исправляем

• $R=B(\cal H)$,
• $R_1= B(\cal H_1)\otimes I_2$
• $R_2= I_1 \otimes B(\cal H_1)$

Выше$I_k$указывает оператор идентичности над$\cal H_k$. Особенно$A_1 \in R_1$принимает форму$A'_1\otimes I_2$для некоторых$A'_1 \in B(\cal H_1)$и аналогичный факт верен для$S_2$.

В этом случае (1), (2) выполняются тривиально, а (3) выполняется в еще более сильном смысле. Если$T_1$действует как статистический оператор над$R_1$всегда можно записать как$T'_1\otimes I_2$, для некоторых статистических операторов в пространстве$\cal H_1$, аналог верен для$S_2$. Штат$T$удовлетворяющее (3) всегда$T= T_1'\otimes T'_2$. Это состояние обладает еще одним свойством (непосредственно вытекающим из основных свойств тензорного произведения)

До сих пор мы видели, что стандартное представление независимых подсистем, основанное на понятии тензорного произведения, согласуется с общими требованиями (1), (2), (3), справедливыми во всей общности для независимых подсистем.

Естественным является и обратный вопрос: всегда ли структура независимых подсистем (требования (1)—(3)) реализуема с помощью понятия тензорного произведения.

Ответ отрицательный , поскольку существуют физически фундаментальные системы, в которых понятие тензорного произведения не подходит для описания независимых подсистем. Возможно, наиболее важным является случай наблюдаемых квантового поля, локализованного в двух причинно разделенных областях пространства-времени Минковского. Ассоциированные алгебры фон Неймана удовлетворяют (1), (2) и (3), но, вообще говоря, неверно, что алгебра наблюдаемых, порожденная обеими областями (система в целом), может быть представлена ​​как тензорное произведение алгебр фон Неймана над соответствующее тензорное произведение гильбертовых пространств. (Тензорное произведение можно использовать, когда выполняется определенное техническое условие, называемое разделяемым свойством .)

Существуют ли достаточные условия, гарантирующие, что (1), (2), (3) реализуемы стандартным использованием тензорного произведения над тензорным произведением гильбертовых пространств?

Есть важный результат фон Неймана, который на самом деле верен почти во всех ситуациях стандартной квантовой механики (не КТП и термодинамики расширенных систем).

Предположим, что

• (а)$R= B(\cal H)$,
• (б)$R_1$является фактором I типа
• (с)$R_2$состоит из всех операторов в$R$которые коммутируют со всеми операторами в$R_1$.

(б) заслуживает некоторого пояснения.$R_1$является множителем, если в него не входят нетривиальные операторы, коммутирующие со всеми операторами$R_1$(другими словами, правил суперотбора не существует). Требование типа I является техническим и означает, что$R_1$алгебраически (не обязательно унитарно) изоморфна некоторому$B(\cal K)$для некоторого гильбертова пространства$\cal K$. Это условие всегда верно, если$\cal H$конечномерна и ложна в КТП, где имеют место факторы типа III (и это является причиной упомянутой выше неудачи представления тензорного произведения в КТП).

При предположениях (a), (b) и (c) выполняются (1), (2), (3) и существует пара гильбертовых пространств$\cal H_1$,$\cal H_2$, унитарный оператор$U: \cal H \to \cal H_1 \otimes \cal H_2$такой, что$UR_1U^{-1} = B({\cal H_1})\otimes I_2$а также$UR_2U^{-1} = I_1 \otimes B(\cal H_1)$.

Это наиболее распространенная ситуация, когда понятие тензорного произведения является фундаментальным строительным блоком для описания независимых подсистем.

Нет, это совсем не очевидно. (По существу идентичные) ответы здесь и здесь дают хорошее обоснование. Ключевая идея заключается в том, что если мы проводим измерения только для одной подсистемы, то вероятности, вытекающие из правила Борна, не меняются, если мы умножаем вектор состояния подсистемы на комплексное число. Тензорное произведение — единственный способ объединить подсистемы вместе в новые векторы состояния, который сохраняет это свойство, когда мы рассматриваем объединенную систему.

Думаю, это довольно очевидно. Поправьте меня, если мои рассуждения где-то неверны.

В классическом случае, если вы хотите описать, например, x-позиции двух частиц, у вас есть двумерное фазовое пространство для отображения возможных состояний, а два есть сумма одного и одного. Но пространство квантовых состояний сильно отличается — каждая точка в$x_1$«ось» является собственным базисным вектором, и аналогично для$x_2$-- векторы состояния, о которых мы говорим, являются векторами в гильбертовом пространстве и могут быть показаны как распределения, отображенные на этом$(x_1,x_2)$плоскости, представляя их как суперпозиции этих базисных векторов.

Таким образом, вполне логично, что размерность пространства продукта является произведением измерений, а не суммой. Общее количество баллов в$(x_1,x_2)$плоскость — размерность этого нового гильбертова пространства — есть произведение числа точек на$x_1$оси и$x_2$ось.

Понятно, что вероятности мультипликативны. Данные состояния$|\phi\rangle=\sum p(x)|x\rangle$а также$|\psi\rangle=\sum q(y)|y\rangle$в базах$|x\rangle$а также$|y\rangle$, видно, что величины компонент состояния

Однако идея довольно проста — предположим, что у нас есть состояние вроде

Поскольку мы представляем две независимые системы, мы можем просто наблюдать за первой системой, сворачивая ее в$|x\rangle$: тогда комбинированное состояние, основанное на левой стороне, сворачивается в$|x\rangle\otimes|z\rangle$. Но, исходя из правой части, это$u|x\rangle\otimes|z\rangle$, и поэтому$u=1$и аналогично для$v$.

На самом деле история тензорного произведения, которую обычно называют аксиомой в мире квантовой информации, происходит из релятивистской электронной теории Дирака.

В релятивистской квантовой механике одна волновая функция заменяется четырьмя волновыми функциями, и подходящее сокращение приводит к двухэлементному массиву (1,0) или (0,1), который мы называем спином.

В случае 2 электронов та же самая теория приводит к 16-компонентной волновой функции, и после некоторой подгонки мы можем перейти к 4-компонентному объекту (называемому спинором Паули для 2 электронов). Этот объект и различные операции с гамильтонианом лучше всего описываются (с точки зрения алгебры) с помощью тензорного произведения состояний (1,0) и (0,1).

Очевидно, что эти тензорные произведения соответствуют спинам, и, поскольку идея кубита происходит от идеи спина, идея тензорной композиции теперь принимается в QIP аксиоматически.