Какова физическая причина линейности уравнения Шредингера?

Следует понимать, что физика - по крайней мере, в ее нынешнем виде - не дает ответов на вопрос "Почему эти законы?" вопросы. Он может только описать эмерджентный закон из более глубокого и фундаментального закона. Квантовая теория до сих пор является наиболее фундаментальной основой, которая у нас есть, поэтому нет более фундаментальной «причины» для описания ее структуры, кроме как найти связи между различными свойствами теории.

Линейность уравнения Шрёдингера является следствием более общего принципа суперпозиции . Этот принцип утверждает, что причины складываются линейно по отношению к следствиям, и это постулируется .

Но что привело нас к этому постулату? Экспериментальные наблюдения - волновые эффекты, такие как интерференция, и некоторые эксперименты со спином/поляризацией частиц. См., например, эксперимент с двумя щелями для интерференции и закон Малюса для поляризованного света — даже если вы пропускаете пучок идеально поляризованных фотонов через поляризатор под другим углом, их можно «линейно разложить» на фотоны с разными поляризациями и часть их проходит. Т.е. проходящие фотоны будут поляризованы в соответствии с ориентацией поляризатора, и этот процесс можно полностью понять именно через линейность квантово-механических состояний.

Однако постулирование линейности было лишь следствием знания в основном линейных волновых уравнений. Эти эффекты мыслимы в теории с небольшими нелинейностями, и это действительно было предложено. В этой статье кратко рассматриваются предложения и их экспериментальные проверки, которые показали, что предлагаемые нелинейности выходят за рамки обнаружения.

Связанная статья также предоставляет «доказательство» линейности эволюции квантовой механики при некоторых разумных предположениях. Но я бы понял это скорее как доказательство более глубокой связи обычной структуры операторов и линейных пространств состояний с общей линейностью квантовомеханической эволюции. Т.е. в статье показано, что нам пришлось бы перейти на другой фреймворк, без состояний$|\psi\rangle$, линейные эрмитовы операторы и их обычная интерпретация, чтобы включить нелинейность в квантовую механику.

---

Итак, вывод таков: кажется, что линейность квантово-механической эволюции (также известная как уравнение Шредингера) является жизненно важной частью структуры теории. Тем не менее, мы никогда не сможем полностью оправдать линейность, главная причина этого в том, что «это просто работает». Но это не исключает возможности смены парадигмы, включая введение нелинейности.

Это лучше видно в представлении Гейзенберга. Физические величины, Observables, представлены эрмитовыми линейными операторами. Тогда уравнение движения (для нерелятивистской массивной частицы):

$$m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) \tag{1}$$

с условиями квантования:

$[\hat X(t),m \dfrac{d\hat X(t')}{dt}]_{|t=t'} =i \hbar$

Уравнение$(1)$является уравнением между операторами, поэтому мы имеем:

$$\forall |\psi\rangle, \quad m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} |\psi\rangle = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) |\psi\rangle\tag{2}$$

Здесь$|\psi\rangle$постоянное состояние (не зависящее от времени).

Уравнение$(2)$явно возникает из-за того, что в квантовой механике используются линейные операторы.

Это не означает, что уравнение$(1)$представляет собой линейное уравнение относительно оператора положения$\hat X(t)$. Обычно это не так, за исключением очень частных случаев (свободная частица, гармонический осциллятор).

Мы также можем использовать интегральное уравнение энергии, которое также является уравнением между операторами:

$$\frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2 + V(\hat X)(t) = E \tag{3}$$

где$E$является постоянной матрицей (не зависящей от времени). Имеем тогда:

$$\forall |\psi\rangle, \quad \frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2|\psi\rangle + V(\hat X)(t)|\psi\rangle = E |\psi\rangle\tag{4}$$

Как и прежде, это уравнение является «линейным» по$\psi$, но не соответствует линейному уравнению движения для$\hat X(t)$, за исключением случаев, когда потенциал равен нулю или не более чем квадратичен по$\hat X$