Дополнительный член в токе Нётер

Question

Дополнительный член в токе Нётер

Физика
симметрия
Нётер-теорема
законы сохранения
лагранжев формализм
классическая теория поля

Кванты

Я видел этот же вопрос раньше. Почему в определении тока Нётера для пространственно-временных переводов есть дополнительный термин? но я не понял ответа, который был дан, поэтому я хотел бы спросить еще раз:

Если поля/координаты изменяются таким образом, что уравнения электролюминесценции по-прежнему выполняются после преобразования, существует сохраняющийся нётеровский ток:

{Дж}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} \partial_{мю} (дельта ф) + л дельта {Икс}^{мю}

$J^\mu = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)+L\delta x^\mu$

Это потому, что если соблюдаются уравнения EL, мы имеем $\delta S=0$ . Но:

дельта С "=" \int дельта л г {Икс}^{4}

$\delta S=\int \delta L dx^{4}$

дельта л "=" \frac{\partial л}{\partial {Икс}^{мю}} дельта {Икс}^{мю} + \frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта (\partial_{мю} ф)

$\delta L=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\frac{\partial L}{\partial \phi}\delta \phi+\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\delta (\partial_{\mu}\phi)$

Первый член справа существует только тогда, когда лагранжиан имеет явную зависимость от координат. Мы предполагаем, что система подчиняется уравнениям EL, поэтому средний член можно заменить, а последний член скорректировать:

дельта л "=" \frac{\partial л}{\partial {Икс}^{мю}} дельта {Икс}^{мю} + \frac{\partial}{\partial {Икс}^{мю}} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)}) дельта ф + \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} \partial_{мю} (дельта ф)

$\delta L=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\right)\delta \phi+\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta \phi)$

если мы добавим термин $L\delta(\partial_{\mu}x)=0$ с правой стороны и накладываем $\delta L=0$ , что мы можем сделать, пока $\delta\phi$ и $\delta x^{\mu}$ не равны нулю на границе, получаем:

\partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} \partial_{мю} (дельта ф) + л дельта {Икс}^{мю}) "=" 0

$\partial_{\mu}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)+L\delta x^\mu\right)=0$

Ясно, что для лагранжиана, не зависящего явно от координат, $L\delta x^{\mu}$ должно отсутствовать, но я все еще вижу, что эта формула используется для лагранжианов, которые не имеют явной зависимости от координат. Может кто-нибудь, пожалуйста, объясните мне это?

my2cts

Что вы не понимаете в ответах, данных в связанном посте?

Ответы (1)

Дополнительный член в токе Нётер

Что вы не понимаете в ответах, данных в связанном посте?

ILoveCFT · Answer 1

Рассмотрим полную производную плотности Лангранжа по положению:

\frac{г л}{г Икс} "=" \frac{\partial Φ}{\partial Икс} \frac{\partial л}{\partial Φ} + \frac{\partial г Φ}{\partial Икс} \frac{\partial л}{\partial г Φ} + \frac{\partial л}{\partial Икс}

$\frac{dL}{dx}=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \Phi} +\frac{\partial d\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial d\Phi}+\frac{\partial L}{\partial x}$

С

дельта Φ "=" дельта а \frac{\partial Φ}{\partial Икс}, г дельта Φ "=" г (дельта а \frac{\partial Φ}{\partial Икс}) "=" дельта а \frac{\partial г Φ}{\partial Икс}

$\delta\Phi = \delta a \frac{\partial\Phi}{\partial x}, d\delta\Phi = d(\delta a \frac{\partial\Phi}{\partial x})=\delta a \frac{\partial d\Phi}{\partial x}$ Находим изменение плотности Лангранжа по отношению к нашему полю:

{дельта}_{Φ} л "=" дельта Φ \frac{\partial л}{\partial Φ} + г дельта Φ \frac{\partial л}{\partial г Φ} "=" дельта а (\frac{\partial Φ}{\partial Икс} \frac{\partial л}{\partial Φ} + \frac{\partial г Φ}{\partial Икс} \frac{\partial л}{\partial г Φ})

$\delta_{\Phi}L=\delta\Phi \frac{\partial L}{\partial \Phi} + d\delta\Phi\frac{\partial L}{\partial d\Phi}=\delta a (\frac{\partial\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \Phi} +\frac{\partial d\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial d\Phi})$

Можно видеть, что если $\frac{\partial L}{\partial x}=0$ , что означает, что когда у нас нет явной зависимости от координат, выполняется следующее:

{дельта}_{а} л "=" {дельта}_{Φ} л

$\delta_a L = \delta_\Phi L$ И это так называемое условие инвариантности дает вам термин, который вы спрашиваете. Инвариантность относительно поля:

{дельта}_{Φ} л "=" \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} Φ_{к})}) (дельта Φ_{к})

$\delta_\Phi L=\partial_\mu(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \Phi_k)})(\delta\Phi_k)$ Инвариантность относительно положения:

{дельта}_{а} л "=" \partial_{мю} л дельта {Икс}^{мю}

$\delta_a L= \partial_\mu L\delta x^{\mu}$ Перестановка дает желаемое решение. Как видите, условие инвариантности не отменяет последнего слагаемого, это слагаемое необходимо. Вы можете увидеть это следующим образом. Когда вы вносите изменения в вашу лангранжевую плотность, возникают два эффекта: во-первых, изменяется поле; во-вторых, меняется база. Последний термин дает вам эффект «изменения основы» в данной точке.

Второй способ «ожидания» координатной зависимости можно объяснить из интерпретации условия инвариантности. Инвариантность означает, что уравнения движения в системе при переносе не меняются. Тогда мы должны рассмотреть преобразования следующего вида:

л \to л + \partial_{мю} {Дж}^{мю}

$\mathcal{L}\rightarrow \mathcal{L}+\partial_{\mu}J^{\mu}$ В вариации действия можно упростить второй член до поверхностного интеграла с помощью теоремы Стокса, и при расчете вариации поверхностные члены считаются равными нулю. Поэтому мы можем видеть термин

J^{μ}

$J^{\mu}$ также сохраняется, и ток Нётер также должен зависеть от этого члена. Этот член может быть рассчитан как вывод выше.

Дополнительный член в токе Нётер

Кванты

my2cts

Ответы (1)

ILoveCFT

Теорема Нётер в классической теории поля Путаница

Нётеровский заряд и класс эквивалентности нётеровых токов

Симметрия уравнений Эйлера-Лагранжа и законы сохранения

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Что означает параметр в теореме Нётер?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка