Симметрия уравнений Эйлера-Лагранжа и законы сохранения

Разные лагранжианы могли дать одно и то же уравнение движения. Если вы добавите нединамические переменные, вы можете представить лагранжиан без симметрий, в то время как уравнение движения имеет симметрии.

Например, возьмем лагранжиан:

Уравнения Эйлера-Лагранжа (применительно к$x$и$f$) давать :

То есть :

Лагранжиан не учитывает явно трансляционное$x$-инвариантность (из-за термина$x$), но уравнения движения учитывают поступательные$x$- инвариантность и$\dot x$является сохраняющейся величиной.

$f$не динамичен, потому что мы можем заменить$f$по его значению в силу уравнения движения и получаем лагранжиан:

С приложениями уравнения Эйлера-Лагранжа мы, очевидно, получаем то же самое уравнение движения$\ddot x = 0$. Этот последний лагранжиан, очевидно, соблюдает поступательное$x$-инвариантность.

Вы не можете доказать существование сохраняющегося тока непосредственно из уравнений движения вообще, учитывая тот факт, что уравнения движения имеют непрерывную симметрию.

Контрпримером этому является затухающий гармонический осциллятор,$\ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega^2 x=0.$Это инвариант относительно$t\rightarrow t+\delta t$, но не имеет сохраняющейся величины.

Теперь, имея конкретное уравнение движения, вы можете искать константы движения. Например, учитывая$\ddot{x}=V'(x)$Вы можете доказать, что энергия сохраняется. Например, см. Первый интеграл уравнения движения:$\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}$. Но трудно понять, как этот метод соотносится с какой-либо конкретной симметрией еом, а не с конкретной алгебраической структурой еом.

Как известно, чтобы связать симметрии с сохраняющимися величинами, следует использовать формулировку действия. Симметрии действия всегда являются симметриями уравнений движения. Однако не все уравнения движения имеют соответствующее действие (например, затухающий гармонический осциллятор). Теоремы Нётер, действующей непосредственно на уровне эомов, не существует, поэтому я постоянно возвращаюсь к действию.

Кажется, вы хотите знать об обратном, всегда ли симметрии еомов являются симметриями действия? Я не понимаю, как это может быть не так, но, по общему признанию, я не могу доказать это навскидку. Вот почему я думаю, что симметрии еомов должны быть симметриями действия: скажем, симметрия — это трансляционная инвариантность только для простоты, вы можете легко обобщить этот аргумент на любую симметрию. Допустим, eoms инвариантны к трансляции. Затем я могу настроить свою систему на позицию$A$, пусть он развивается классически, и посмотрим, что произойдет. Затем я перемещаю свою систему в положение$B$и настроить его с одинаковыми начальными условиями. Точно такое же движение должно происходить в позиции$B$по трансляционной инвариантности. Но действие — это просто функция пройденного пути — вам нужно будет получить другое число для действия, оцененного на путях, пройденных в позиции$A$то вы получите, если оцените действие на путях в позиции$B$. Но так как физика не различает$A$и$B$как это могло быть правдой: просто подсчитав действие, вы могли сказать, находитесь ли вы в$A$или$B$. По общему признанию, это не доказательство, но именно поэтому я не думаю, что это правда. Даже если бы вы могли найти симметрию еомов, которая не была бы симметрией действия, вы не смогли бы использовать теорему Нётер, чтобы показать, что существует сохраняющаяся величина, поэтому не было бы связанной с этим сохраняющейся величины. симметрия.

Однако не все законы сохранения следуют из симметрии.